Derive implicitamente as funçôes abaixo para determinar d yd x, partial zpartial x e partial zpartial y, (2,0 pontos)
y^3+x^2 y^2=1+y e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar as derivadas , e usando derivação implícita. A derivação implícita é uma técnica que usamos quando está definido em termos de de forma complicada, e a gente quer achar a derivada sem isolar o . Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx(y^3) + ddx(x^2 y^2) . Lembre-se que = 3y^2 dydx + (2x y^2 + x^2 cdot 2y dydx) é uma função de ddx(1) + ddx(y e^2x) , então quando derivarmos termos com = 0 + e^2x dydx + y cdot 2e^2x , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 3

Agora, juntamos tudo:
3y^2 dydx + 2x y^2 + 2x^2 y dydx = e^2x dydx + 2y e^2x
Queremos isolar 3y^2 dydx + 2x^2 y dydx - e^2x dydx = 2y e^2x - 2x y^2 . Vamos reunir todos os termos com dydx (3y^2 + 2x^2 y - e^2x) = 2y e^2x - 2x y^2 de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando :

Passo 4

Finalmente, isolamos dydx = 2y e^2x - 2x y^23y^2 + 2x^2 y - e^2x dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada dydx = 2y e^2x - 2x y^23y^2 + 2x^2 y - e^2x é dada por:

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(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limite lim (x, y) (-1,0) (x+1)^2 y(x+1)^4+y^2
(a) gamma é o retângulo de vértices (0,0), (0,1), (2,1) e (2,0) ; T(x,y)=(3x, 5y).
(b) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (3x, 5y).
© gamma é o triângulo de vértices (0,0), (3,6), e (9,4) ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(d) gamma é a reta 3x - 2y = 4 ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(e) gamma é a reta x + 2y = 1 ; T(x, y) = (x - y, 2x + 3y).
(f) gamma é o quadrado de vértices (0,0), (1,-1), (2,0) e (1,1) ; T(x,y) = (5x + 4y, 2x - 3y).
(g) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (5x + 4y, 2x - 3y).
Derive implicitamente as funçôes abaixo para determinar d yd x, partial zpartial x e partial zpartial y, (2,0 pontos)
x z=ln (y+z)
Resolva a integral iterada
integral0^2 integraly^2^4 raizx sen x d x d y