Derive implicitamente as funçôes abaixo para determinar d yd x, partial zpartial x e partial zpartial y, (2,0 pontos)
x z=ln (y+z)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação implícita e precisamos encontrar as derivadas , e . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as funções estão misturadas e não estão isoladas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(xz) = z + xdzdx . Lembre-se que ddx ln(y + z) = 1y + z ( dydx + dzdx ) pode depender de , então devemos considerar isso na diferenciação.
Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui usamos a regra do produto, onde derivamos e separadamente.
Diferenciando o lado direito:
Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função logaritmo.

Passo 3

Agora, igualamos as duas derivadas que encontramos:
z + xdzdx = 1y + z ( dydx + dzdx )
Nosso objetivo é isolar , então vamos reorganizar a equação para resolver essa derivada.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (y + z)(z + xdzdx) = dydx + dzdx para eliminar o denominador:
y z + z^2 + x y dzdx + x z dzdx = dydx + dzdx
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 5

Isolamos dydx = y z + z^2 + x y dzdx + x z dzdx - dzdx :
dydx = y z + z^2 + ( x y + x z - 1 ) dzdx
Podemos fatorar nos termos que a contêm:

Passo 6

Agora, precisamos expressar em termos de e . Para isso, podemos rearranjar a equação original para resolver em função de e , mas isso pode ser complicado. Em vez disso, consideramos que estamos buscando derivadas parciais, então tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Resposta

Após aplicar a diferenciação implícita e reorganizar as equações, encontramos:
dydx = y z + z^21 - x ( y + zy + z ) = y z + z^21 - x
partial zpartial x = 1x (y + z) - zx
partial zpartial y = 1y + z cdot partial zpartial y
Essas expressões fornecem as derivadas solicitadas utilizando a técnica de diferenciação implícita.

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