Derive implicitamente as funçôes abaixo para determinar
e
, (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação implícita
e precisamos encontrar as derivadas
,
e
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as funções estão misturadas e não estão isoladas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
pode depender de
, então devemos considerar isso na diferenciação.
Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui usamos a regra do produto, onde derivamos
e
separadamente.
Diferenciando o lado direito:
Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função logaritmo.
Passo 3
Agora, igualamos as duas derivadas que encontramos:
Nosso objetivo é isolar
, então vamos reorganizar a equação para resolver essa derivada.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 5
Isolamos
:
Podemos fatorar
nos termos que a contêm:
Passo 6
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Para isso, podemos rearranjar a equação original para resolver
em função de
e
, mas isso pode ser complicado. Em vez disso, consideramos que estamos buscando derivadas parciais, então tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Resposta
Após aplicar a diferenciação implícita e reorganizar as equações, encontramos:
Essas expressões fornecem as derivadas solicitadas utilizando a técnica de diferenciação implícita.
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pontos)