Descreva a estrutura de uma árvore AVL formada pela inserção dos números de 1 a n em ordem crescente. Qual é a altura dessa árvore?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre árvores AVL! O enunciado pede para descrever a estrutura de uma árvore AVL formada pela inserção dos números de 1 a n em ordem crescente e determinar a altura dessa árvore. Vamos precisar entender como as árvores AVL funcionam e como elas se balanceiam automaticamente para manter a eficiência nas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma árvore AVL. Uma árvore AVL é um tipo de árvore binária de busca que se auto-balanceia. Isso significa que, após cada inserção ou remoção, a árvore ajusta sua estrutura para garantir que a diferença de altura entre a subárvore esquerda e a subárvore direita de qualquer nó não seja maior que 1. Esse balanceamento é importante para manter as operações de busca, inserção e remoção eficientes, com complexidade de tempo .

Passo 3

Agora, vamos imaginar que estamos inserindo os números de 1 a n em ordem crescente em uma árvore AVL. Se fosse uma árvore binária de busca comum sem balanceamento, isso resultaria em uma árvore “esticada” para a direita, parecendo uma lista ligada, com altura igual a n. Mas como a árvore AVL se auto-balanceia, ela vai reorganizar os nós para manter sua altura mínima possível.

Passo 4

Durante as inserções, sempre que a árvore ficar desequilibrada (ou seja, a diferença de altura entre as subárvores esquerda e direita de algum nó for maior que 1), a árvore realiza rotações para reequilibrar. Essas rotações garantem que a árvore permaneça o mais balanceada possível, mesmo com inserções em ordem crescente.

Passo 5

Devido a esse balanceamento automático, a estrutura final da árvore AVL será uma árvore quase completa, onde todos os níveis, exceto possivelmente o último, estão totalmente preenchidos, e os nós estão o mais à esquerda possível. Isso maximiza a eficiência nas operações de busca.

Passo 6

Quanto à altura dessa árvore, como ela se mantém balanceada, sua altura será proporcional ao logaritmo de n na base 2. Isso significa que a altura h approx lfloor log2(n) rfloor pode ser aproximada por:
Isso garante que as operações na árvore AVL sejam realizadas de forma eficiente, mesmo com um grande número de nós.

Resposta

A árvore AVL formada pela inserção dos números de 1 a n em ordem crescente terá uma estrutura quase completa e balanceada, com todos os níveis totalmente preenchidos, exceto possivelmente o último. A altura dessa árvore será aproximadamente .

Exercícios relacionados