Prove que uma rotação dupla à direita pode ser obtida com uma rotação esquerda seguida de uma rotação direita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma rotação dupla à direita pode ser feita usando uma rotação à esquerda seguida de uma rotação à direita. Isso está relacionado ao balanceamento de árvores binárias de busca, onde usamos rotações para manter a árvore equilibrada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas rotações e como elas funcionam juntas para alcançar o objetivo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma rotação à esquerda. Imagine que temos um nó desbalanceado na árvore, onde o filho à direita é mais alto que o à esquerda. A rotação à esquerda vai girar a árvore para a esquerda para diminuir a altura do lado direito. Matemática e visualmente, se temos um nó X com filho direito Y, após a rotação, Y sobe e X desce para a esquerda de Y.

Passo 3

Agora, vamos ver a rotação à direita. É o contrário da rotação à esquerda. Quando o filho à esquerda é mais alto, fazemos a rotação à direita para equilibrar. Se temos um nó Y com filho esquerdo X, após a rotação, X sobe e Y desce para a direita de X.

Passo 4

Uma rotação dupla à direita é usada em situações onde o desbalanceamento não é resolvido com uma única rotação. Geralmente, envolve dois passos: primeiro, uma rotação à esquerda no filho esquerdo do nó desbalanceado, e depois uma rotação à direita no próprio nó desbalanceado. Essa sequência ajuda a reorientar os nós de forma mais eficaz para equilibrar a árvore.

Passo 5

Agora vamos juntar tudo para provar o que a questão pede. Se fizermos uma rotação à esquerda seguida de uma rotação à direita, estamos essencialmente realizando a mesma coisa que uma rotação dupla à direita. Primeiro, a rotação à esquerda ajusta a subárvore problemática, e em seguida, a rotação à direita equilibra a árvore principal. Assim, a sequência dessas duas rotações alcança o mesmo resultado que a rotação dupla à direita.

Resposta

Portanto, provamos que uma rotação dupla à direita pode ser obtida realizando primeiro uma rotação à esquerda seguida de uma rotação à direita.

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