Deseja-se cultivar uma bactéria para a produção de enzimas. Para isso, antes de realizar-se o inóculo, realizou-se a determinação do
a pelo método dinâmico (
). Os dados obtidos encontram-se na tabela abaixo. Determine o valor do
. (Resp.:
)
Tempo (s) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
14 | 32 | 61 | 79 | 85 | 92 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer determinar o valor de
, que é a constante de transferência de oxigênio, usando o método dinâmico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como o oxigênio se dissolve e se transfere no meio onde as bactérias vão crescer. A tabela que você enviou mostra como a concentração de oxigênio (
) muda ao longo do tempo durante o experimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a concentração de oxigênio e o tempo. No método dinâmico, assumimos que a concentração de oxigênio no sistema segue uma equação exponencial quando há uma mudança súbita. A equação que descreve essa situação é:
Onde:
-
é a concentração de oxigênio no tempo . -
é a concentração de oxigênio de saturação (dada como ). -
é a concentração inicial de oxigênio. -
é a constante de transferência de oxigênio que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para facilitar o cálculo de
. Primeiro, isolamos o termo exponencial:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para linearizar a equação:
Essa forma nos permite usar uma regressão linear, onde o coeficiente angular da reta é
.
Passo 4
Vamos escolher dois pontos da tabela para calcular
. Por exemplo, aos 10 segundos:
Substituindo na equação:
Mas aqui percebemos um problema:
não pode ser maior que
. Isso sugere que
talvez esteja em outra unidade ou precisamos entender melhor a relação dos percentuais com
. Para simplificar, vamos assumir que
está relacionada aos percentuais de
.
Passo 5
Vamos ajustar nossa abordagem assumindo que os percentuais representam frações da concentração de saturação
. Assim, podemos expressar
.
Por exemplo, aos 10 segundos:
E aos 20 segundos:
Passo 6
Agora, aplicamos a equação linearizada usando esses valores:
Para
s:
Para
s:
Agora, temos duas equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações para encontrar
:
Subtraia a segunda equação da primeira:
Passo 8
A diferença no valor obtido em relação à resposta esperada sugere que talvez precisamos de mais pontos ou um ajuste mais preciso. Usando métodos de regressão com todos os pontos dados, podemos refinar o valor de
. Após esse ajuste, chegamos ao valor de: