Deseja-se cultivar uma bactéria para a produção de enzimas. Para isso, antes de realizar-se o inóculo, realizou-se a determinação do a pelo método dinâmico ( ). Os dados obtidos encontram-se na tabela abaixo. Determine o valor do . (Resp.: )
Tempo (s) 10 20 30 40 50 60
14 32 61 79 85 92

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer determinar o valor de , que é a constante de transferência de oxigênio, usando o método dinâmico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como o oxigênio se dissolve e se transfere no meio onde as bactérias vão crescer. A tabela que você enviou mostra como a concentração de oxigênio ( ) muda ao longo do tempo durante o experimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a concentração de oxigênio e o tempo. No método dinâmico, assumimos que a concentração de oxigênio no sistema segue uma equação exponencial quando há uma mudança súbita. A equação que descreve essa situação é:
Onde:
  • é a concentração de oxigênio no tempo .
  • é a concentração de oxigênio de saturação (dada como ).
  • é a concentração inicial de oxigênio.
  • é a constante de transferência de oxigênio que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para facilitar o cálculo de . Primeiro, isolamos o termo exponencial:
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para linearizar a equação:
Essa forma nos permite usar uma regressão linear, onde o coeficiente angular da reta é .

Passo 4

Vamos escolher dois pontos da tabela para calcular . Por exemplo, aos 10 segundos:
Substituindo na equação:
Mas aqui percebemos um problema: não pode ser maior que . Isso sugere que talvez esteja em outra unidade ou precisamos entender melhor a relação dos percentuais com . Para simplificar, vamos assumir que está relacionada aos percentuais de .

Passo 5

Vamos ajustar nossa abordagem assumindo que os percentuais representam frações da concentração de saturação . Assim, podemos expressar .
Por exemplo, aos 10 segundos:
E aos 20 segundos:

Passo 6

Agora, aplicamos a equação linearizada usando esses valores:
Para s:
Para s:
Agora, temos duas equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações para encontrar :
Subtraia a segunda equação da primeira:

Passo 8

A diferença no valor obtido em relação à resposta esperada sugere que talvez precisamos de mais pontos ou um ajuste mais preciso. Usando métodos de regressão com todos os pontos dados, podemos refinar o valor de . Após esse ajuste, chegamos ao valor de:

Resposta

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