Deseja-se determinar o diâmetro médio da roseta de bromélias expostas ao sol. Acredita-se que o diâmetro médio de uma roseta distribui-se normalmente. Em uma amostra de 20 bromélias, obteve-se diâmetro médio de
com variabilidade de
.
Sabe-se que o diâmetro médio da roseta foliar das bromélias em área sombreada é de
. Os dados da amostra evidenciam que as bromélias de sol desenvolvem-se menos do que as de sombra? Estabeleça as hipóteses a serem testadas e faça o teste de hipótese com nível de significância de
.
Sabe-se que o diâmetro médio da roseta foliar das bromélias em área sombreada é de
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir se as bromélias que ficam expostas ao sol têm um diâmetro médio menor do que as que estão em áreas sombreadas. Para isso, vamos usar estatística inferencial, especificamente o teste de hipótese para médias. Precisaremos dos dados da amostra (tamanho, média, variância) e do diâmetro médio conhecido das bromélias em áreas sombreadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (
) geralmente representa a situação de “não diferença” ou “sem efeito”. Já a hipótese alternativa (
) é o que queremos provar.
- Hipótese nula (
): O diâmetro médio das bromélias expostas ao sol é igual ao das bromélias em sombra. $ \mu = 7,48 , cm $ - Hipótese alternativa (
): O diâmetro médio das bromélias expostas ao sol é menor que o das bromélias em sombra. $ \mu < 7,48 , cm $
Passo 3
Agora, vamos escolher o teste estatístico adequado. Como estamos comparando a média de uma amostra com uma média conhecida e temos a variância da amostra, usaremos o teste
de Student.
Passo 4
Vamos calcular o estatístico do teste
usando a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} = 6,98 , cm $ (média da amostra)
- $ \mu = 7,48 , cm $ (média da população em sombra)
- $ s = 1,528 , cm $ (variabilidade da amostra)
- $ n = 20 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico $ t_c $ para o nosso teste. Como o nível de significância é de $10% $ e o teste é unilateral (queremos saber se é menor), consultamos a tabela $ t $ de Student com $ n - 1 = 19 $ graus de liberdade.
Para $ \alpha = 0,10 $ e $ df = 19 $, o valor crítico $ t_c $ é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o nosso valor calculado de $ t $ com o valor crítico:
Como $ t $ calculado é menor que $ t_c $, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de $10% $, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, os dados da amostra evidenciam que as bromélias expostas ao sol desenvolvem-se com um diâmetro médio significativamente menor do que as de sombra.