Para os camarões de certa espécie serem considerados adultos, devem apresentar um comprimento maior ou igual a 22 mm . Em uma população de camarões, a média do comprimento é igual a
e variabilidade é de
.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro absoluto na estimativa do comprimento médio não ultrapassasse a 1,2 com probabilidade de 0,90 ?
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro absoluto na estimativa do comprimento médio não ultrapassasse a 1,2 com probabilidade de 0,90 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre determinar o tamanho da amostra necessário para estimar o comprimento médio de camarões com certa precisão. Aqui, estamos lidando com estatística, mais especificamente com estimativa de média e cálculo de tamanho de amostra. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como média, variabilidade (desvio padrão), erro absoluto e nível de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Média do comprimento dos camarões, $ \mu = 27,3 , mm $
- Variabilidade (desvio padrão), $ \sigma = 7,8 , mm $
- Erro absoluto máximo permitido na estimativa, $ E = 1,2 , mm $
- Nível de confiança, $ 90% $
Passo 3
Para encontrar o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do tamanho da amostra para estimar uma média com um determinado erro e nível de confiança. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra
- $ Z $ é o valor correspondente ao nível de confiança na distribuição normal
- $ \sigma $ é o desvio padrão
- $ E $ é o erro absoluto máximo permitido
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% corresponde a um valor $ Z $ de aproximadamente 1,645 na distribuição normal padrão.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando o numerador:
Dividindo pelo erro absoluto:
Passo 7
Elevando ao quadrado:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 115 camarões.