Para os camarões de certa espécie serem considerados adultos, devem apresentar um comprimento maior ou igual a 22 mm . Em uma população de camarões, a média do comprimento é igual a 27,3 mm e variabilidade é de 7,8 mm.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro absoluto na estimativa do comprimento médio não ultrapassasse a 1,2 com probabilidade de 0,90 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre determinar o tamanho da amostra necessário para estimar o comprimento médio de camarões com certa precisão. Aqui, estamos lidando com estatística, mais especificamente com estimativa de média e cálculo de tamanho de amostra. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como média, variabilidade (desvio padrão), erro absoluto e nível de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Média do comprimento dos camarões, $ \mu = 27,3 , mm $
  • Variabilidade (desvio padrão), $ \sigma = 7,8 , mm $
  • Erro absoluto máximo permitido na estimativa, $ E = 1,2 , mm $
  • Nível de confiança, $ 90% $

Passo 3

Para encontrar o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do tamanho da amostra para estimar uma média com um determinado erro e nível de confiança. A fórmula é:
n = ( Z times sigmaE )^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra
  • $ Z $ é o valor correspondente ao nível de confiança na distribuição normal
  • $ \sigma $ é o desvio padrão
  • $ E $ é o erro absoluto máximo permitido

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 90%. O nível de confiança de 90% corresponde a um valor $ Z $ de aproximadamente 1,645 na distribuição normal padrão.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
n = ( 1,645 times 7,81,2 )^2

Passo 6

Calculando o numerador:
1,645 times 7,8 = 12,831
Dividindo pelo erro absoluto:
12,8311,2 = 10,6925

Passo 7

Elevando ao quadrado:
n = (10,6925)^2 approx 114,3
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 115 camarões.

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