Considere uma população normal com variância 100, da qual se extrai uma amostra aleatória simples de tamanho 25. Deseja-se testar as seguintes hipóteses:
l H0: mu=10 H1: mu=13
Considere a região crítica R C=barx: barx>11. Indique e calcule as probabilidades dos erros tipo I e II.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma população que segue uma distribuição normal com variância igual a 100. Tiramos uma amostra aleatória simples de tamanho 25. Nosso objetivo é testar duas hipóteses sobre a média dessa população:
  • Hipótese nula ( H0): A média ( mu) é igual a 10.
  • Hipótese alternativa ( H1): A média ( mu) é igual a 13.
Além disso, definimos a região crítica como RC = barx : barx > 11. Isso significa que se a média amostral for maior que 11, vamos rejeitar a hipótese nula. Vamos precisar trabalhar com testes de hipóteses, entender os erros tipo I e tipo II, e usar a distribuição normal para calcular as probabilidades desses erros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são erros tipo I e tipo II:
  • Erro Tipo I: É quando rejeitamos a hipótese nula H0 sendo ela verdadeira. Basicamente, achamos que a média é diferente quando na verdade ela é igual a 10.
  • Erro Tipo II: É quando não rejeitamos a hipótese nula H0 mesmo quando a hipótese alternativa H1 é verdadeira. Ou seja, achamos que a média é 10 quando na verdade ela é 13.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses erros.

Passo 3

Calculando a probabilidade do Erro Tipo I ( alpha):
Aqui, assumimos que a hipótese nula H0: mu = 10 é verdadeira. Queremos saber a probabilidade de obter uma média amostral maior que 11, que nos levaria a rejeitar H0 quando na verdade ela é verdadeira.
Sabemos que a distribuição da média amostral barx, quando mu = 10, é normalmente distribuída com:
barx sim N(10, sigma^2n) = N(10, 10025) = N(10, 4)
O desvio padrão da média amostral é sigmabarx = raiz4 = 2.
Queremos encontrar P(barx > 11 mid mu = 10).
Para isso, calculamos o escore z correspondente a barx = 11:
z = barx - musigmabarx = 11 - 102 = 12 = 0,5
Agora, buscamos na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade de z > 0,5.
Sabemos que:
P(z > 0,5) = 1 - P(z <= 0,5) approx 1 - 0,6915 = 0,3085
Portanto, a probabilidade do erro tipo I é aproximadamente 30,85%.

Passo 4

Calculando a probabilidade do Erro Tipo II ( beta):
Aqui, assumimos que a hipótese alternativa H1: mu = 13 é verdadeira. Queremos saber a probabilidade de não rejeitar H0, ou seja, obter uma média amostral menor ou igual a 11 quando na verdade mu = 13.
A distribuição da média amostral barx, quando mu = 13, é:
barx sim N(13, sigma^2n) = N(13, 10025) = N(13, 4)
O desvio padrão permanece sigmabarx = 2.
Queremos encontrar P(barx <= 11 mid mu = 13).
Calculamos o escore z para barx = 11:
z = 11 - 132 = -22 = -1
Buscamos na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade de z <= -1.
Sabemos que:
P(z <= -1) approx 0,1587
Portanto, a probabilidade do erro tipo II é aproximadamente 15,87%.

Resposta

A probabilidade do erro tipo I é de aproximadamente 30,85%, e a probabilidade do erro tipo II é de aproximadamente 15,87%.

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