Considere uma população normal com variância 100, da qual se extrai uma amostra aleatória simples de tamanho 25. Deseja-se testar as seguintes hipóteses:
Considere a região crítica
. Indique e calcule as probabilidades dos erros tipo I e II.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma população que segue uma distribuição normal com variância igual a 100. Tiramos uma amostra aleatória simples de tamanho 25. Nosso objetivo é testar duas hipóteses sobre a média dessa população:
- Hipótese nula (
): A média ( ) é igual a 10. - Hipótese alternativa (
): A média ( ) é igual a 13.
Além disso, definimos a região crítica como
. Isso significa que se a média amostral for maior que 11, vamos rejeitar a hipótese nula. Vamos precisar trabalhar com testes de hipóteses, entender os erros tipo I e tipo II, e usar a distribuição normal para calcular as probabilidades desses erros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são erros tipo I e tipo II:
-
Erro Tipo I: É quando rejeitamos a hipótese nula
sendo ela verdadeira. Basicamente, achamos que a média é diferente quando na verdade ela é igual a 10. -
Erro Tipo II: É quando não rejeitamos a hipótese nula
mesmo quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, achamos que a média é 10 quando na verdade ela é 13.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses erros.
Passo 3
Calculando a probabilidade do Erro Tipo I (
):
Aqui, assumimos que a hipótese nula
é verdadeira. Queremos saber a probabilidade de obter uma média amostral maior que 11, que nos levaria a rejeitar
quando na verdade ela é verdadeira.
Sabemos que a distribuição da média amostral
, quando
, é normalmente distribuída com:
O desvio padrão da média amostral é
.
Queremos encontrar
.
Para isso, calculamos o escore z correspondente a
:
Agora, buscamos na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade de
.
Sabemos que:
Portanto, a probabilidade do erro tipo I é aproximadamente 30,85%.
Passo 4
Calculando a probabilidade do Erro Tipo II (
):
Aqui, assumimos que a hipótese alternativa
é verdadeira. Queremos saber a probabilidade de não rejeitar
, ou seja, obter uma média amostral menor ou igual a 11 quando na verdade
.
A distribuição da média amostral
, quando
, é:
O desvio padrão permanece
.
Queremos encontrar
.
Calculamos o escore z para
:
Buscamos na tabela da distribuição normal padrão a probabilidade de
.
Sabemos que:
Portanto, a probabilidade do erro tipo II é aproximadamente 15,87%.
Resposta
A probabilidade do erro tipo I é de aproximadamente 30,85%, e a probabilidade do erro tipo II é de aproximadamente 15,87%.