Desenvolva o cálculo para obtenção da equação de onda (EDO) de uma onda eletromagnética para o campo elétrico e para campo magnético, a partir das equações de Mawell. Como resultado desses cálculos mostre que uma uma onda eletromagnética de desloca com a mesma velocidade da luz num meio qualquer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos desenvolver a equação de onda para os campos elétrico e magnético usando as Equações de Maxwell. Além disso, queremos mostrar que essa onda eletromagnética se propaga com a mesma velocidade da luz em qualquer meio. Para isso, vamos precisar conhecer as Equações de Maxwell e entender como elas se relacionam com as ondas eletromagnéticas.
Passo 2
As Equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. Elas são:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Para ondas eletromagnéticas no vácuo, podemos assumir que não há cargas livres (
) nem correntes (
), simplificando as equações.
Passo 3
Vamos focar nas Equações de Faraday e de Ampère-Maxwell para derivar a equação de onda. Primeiro, aplicamos o rotacional (nabla cruz) na equação de Faraday:
Tomando o rotacional de ambos os lados:
Passo 4
Utilizamos a identidade vetorial:
No vácuo,
, então a expressão simplifica para:
Podemos reescrever o lado direito usando a Equação de Ampère-Maxwell:
Então:
Passo 5
Simplificando os sinais, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:
De maneira similar, aplicando o mesmo processo às Equações de Maxwell para o campo magnético, chegamos à equação de onda para o campo magnético:
Passo 6
Agora, para mostrar que a velocidade da onda eletromagnética é a mesma que a velocidade da luz, comparamos a equação de onda obtida com a forma geral da equação de onda:
Onde
é a velocidade da onda. Comparando com nossas equações de onda para
e
:
Portanto, a velocidade da onda eletromagnética é:
Resposta
A velocidade de propagação da onda eletromagnética é dada por
, que corresponde à velocidade da luz em qualquer meio.
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