Desenvolva o cálculo para obtenção da equação de onda (EDO) de uma onda eletromagnética para o campo elétrico e para campo magnético, a partir das equações de Mawell. Como resultado desses cálculos mostre que uma uma onda eletromagnética de desloca com a mesma velocidade da luz num meio qualquer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos desenvolver a equação de onda para os campos elétrico e magnético usando as Equações de Maxwell. Além disso, queremos mostrar que essa onda eletromagnética se propaga com a mesma velocidade da luz em qualquer meio. Para isso, vamos precisar conhecer as Equações de Maxwell e entender como elas se relacionam com as ondas eletromagnéticas.

Passo 2

As Equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. Elas são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico: nabla cdot E = rhovarepsilon0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético: nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday da indução: nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell: nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Para ondas eletromagnéticas no vácuo, podemos assumir que não há cargas livres ( rho = 0) nem correntes ( J = 0), simplificando as equações.

Passo 3

Vamos focar nas Equações de Faraday e de Ampère-Maxwell para derivar a equação de onda. Primeiro, aplicamos o rotacional (nabla cruz) na equação de Faraday:
nabla times E = -partial Bpartial t
Tomando o rotacional de ambos os lados:
nabla times (nabla times E) = -nabla times partial Bpartial t

Passo 4

Utilizamos a identidade vetorial:
nabla times (nabla times E) = nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
No vácuo, nabla cdot E = 0, então a expressão simplifica para:
-nabla^2 E = -nabla times partial Bpartial t
Podemos reescrever o lado direito usando a Equação de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Então:
-nabla^2 E = -mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2

Passo 5

Simplificando os sinais, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:
nabla^2 E = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
De maneira similar, aplicando o mesmo processo às Equações de Maxwell para o campo magnético, chegamos à equação de onda para o campo magnético:
nabla^2 B = mu0 varepsilon0 partial^2 Bpartial t^2

Passo 6

Agora, para mostrar que a velocidade da onda eletromagnética é a mesma que a velocidade da luz, comparamos a equação de onda obtida com a forma geral da equação de onda:
nabla^2 Psi = 1v^2 partial^2 Psipartial t^2
Onde v é a velocidade da onda. Comparando com nossas equações de onda para E e B:
1v^2 = mu0 varepsilon0
Portanto, a velocidade da onda eletromagnética é:
v = 1raizmu0 varepsilon0

Resposta

A velocidade de propagação da onda eletromagnética é dada por v = 1raizmu0 varepsilon0, que corresponde à velocidade da luz em qualquer meio.

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