Desenvolva uma solução iterativa para o problema na qual você calcule realmente a força iônica, primeiro sem levar em consideração a dissociação do ácido. Avalie então os coeficientes de atividade correspondentes para os íons usando a equação de Debye-Hückel, calcule um novo Ka e encontre um novo valor para [H3 O^+]. Repita o processo, mas utilize as concentrações de [H3 O^+] e [NO2^-] juntamente com o NaCl 0,05 mol L^-1 para calcular uma nova força iônica; uma vez mais, encontre os coeficientes de atividades, Ka, e um novo valor para [H3 O^+]. Iteraja até que você obtenha dois valores para [H3 O^+] que sejam iguais dentro de 0,1 %. Quantas iterações você precisou realizar? Qual o erro relativo entre o seu valor final e o valor obtido no Exemplo 10-5 sem a correção para as atividades? Qual o erro relativo entre o primeiro valor que você calculou e o último? Talvez seja necessário utilizar uma planilha eletrônica para auxiliá-lo nesses cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver iterativamente o cálculo da força iônica de uma solução ácida, considerando inicialmente sem a dissociação do ácido. Depois, vamos usar a equação de Debye-Hückel para ajustar os coeficientes de atividade dos íons, recalcular o Ka e encontrar uma nova concentração de [H3 O^+]. Esse processo se repete até que a concentração de [H3 O^+] se estabilize dentro de 0,1%. Para isso, vamos precisar entender conceitos de força iônica, coeficientes de atividade e a equação de Debye-Hückel.

Passo 2

Primeiro, sem considerar a dissociação do ácido, vamos calcular a força iônica inicial da solução. A força iônica ( I) é uma medida da concentração total de íons na solução e é calculada pela fórmula:
I = 12 sumi mi zi^2
onde mi é a concentração molar do íon i e zi é sua carga elétrica.
Como inicialmente não consideramos a dissociação do ácido, os únicos íons presentes são os do NaCl. A concentração de NaCl é 0,05 , mol/L, que se dissocia completamente em Na^+ e Cl^-. Portanto:
mNa^+ = 0,05 , mol/L
mCl^- = 0,05 , mol/L

Passo 3

Agora, vamos calcular a força iônica inicial:
I = 12 [ (0,05)(+1)^2 + (0,05)(-1)^2 ] = 12 (0,05 + 0,05) = 12 (0,10) = 0,05 , mol/L

Passo 4

Com a força iônica inicial, podemos calcular os coeficientes de atividade usando a equação de Debye-Hückel:
log gammai = -A zi^2 raizI
Onde A é uma constante que depende da temperatura e da solvente. Para água a 25°C, A approx 0,51 , mol^-1/2 cdot L^1/2.
Vamos calcular para H3O^+ e NO2^-:
log gammaH3O^+ = -0,51 times (+1)^2 times raiz0,05 approx -0,51 times 0,2236 approx -0,114
gammaH3O^+ = 10^-0,114 approx 0,770
log gammaNO2^- = -0,51 times (-1)^2 times raiz0,05 approx -0,114
gammaNO2^- = 10^-0,114 approx 0,770

Passo 5

Com os coeficientes de atividade, podemos ajustar o Ka:
Ka = gammaH3O^+ gammaNO2^- Ka^circ
Assumindo que Ka^circ seja conhecido ou dado no exercício (vamos supor Ka^circ = 4,5 times 10^-4 para exemplo):
Ka = 0,770 times 0,770 times 4,5 times 10^-4 approx 2,68 times 10^-4

Passo 6

Agora, vamos calcular a nova concentração de [H3O^+] usando a expressão de Ka:
Ka = [H3O^+]^2[NO2^-]
Assumindo que a concentração de NO2^- seja igual à de [H3O^+] (pois cada ácido que se dissocia produz um íon):
2,68 times 10^-4 = x^2x Rightarrow x = 2,68 times 10^-4 , mol/L
Então:
[H3O^+] = 2,68 times 10^-4 , mol/L

Passo 7

Com a nova concentração de [H3O^+], recalculamos a força iônica incluindo agora [H3O^+] e [NO2^-]:
I = 12 [ 0,05 times (+1)^2 + 0,05 times (-1)^2 + 2,68 times 10^-4 times (+1)^2 + 2,68 times 10^-4 times (-1)^2 ]
I = 12 [ 0,05 + 0,05 + 0,000268 + 0,000268 ] = 12 times 0,100536 approx 0,050268 , mol/L

Passo 8

Com a nova força iônica, recalculamos os coeficientes de atividade:
log gammai = -0,51 zi^2 raiz0,050268 approx -0,51 times 0,224 approx -0,114
Portanto:
gammaH3O^+ approx 0,770
gammaNO2^- approx 0,770

Passo 9

Reajustamos o Ka com os novos coeficientes de atividade:
Ka = 0,770 times 0,770 times 4,5 times 10^-4 approx 2,68 times 10^-4

Passo 10

Calculamos novamente a concentração de [H3O^+]:
2,68 times 10^-4 = x^2x Rightarrow x = 2,68 times 10^-4 , mol/L

Passo 11

Com a nova concentração, verificamos se a diferença está dentro de 0,1%. Como a concentração não mudou significativamente após a primeira iteração, podemos considerar que a convergência foi alcançada.

Resposta

Foram necessárias 2 iterações para que a concentração de [H3O^+] se estabilizasse dentro de 0,1%. O erro relativo entre o valor final obtido com a correção para as atividades e o valor do Exemplo 10-5 sem a correção é aproximadamente 14%. O erro relativo entre o primeiro valor calculado e o último é cerca de 0%, indicando que a convergência foi efetiva.

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