Desenvolver a função característica da variável aleatória Normal de média mu e desvio padrão sigma, até a ordem s=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a função característica de uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média mu e desvio padrão sigma, até a terceira ordem. Isso faz parte da matéria de Probabilidade, mais especificamente envolvendo funções de distribuição e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória X é definida como:
phiX(t) = E[e^itX]
Aqui, E representa a esperança matemática e i é a unidade imaginária. Essa função é útil porque carrega toda a informação da distribuição de X.

Passo 3

Como X tem distribuição Normal com média mu e desvio padrão sigma, sabemos que a função característica dessa distribuição é:
phiX(t) = e^imu t - sigma^2 t^22
Mas a questão quer a gente desenvolver essa função até a terceira ordem. Para isso, vamos expandir a função exponencial usando a série de Taylor.

Passo 4

A série de Taylor para e^x em torno de 0 é:
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots
Vamos aplicar isso na nossa função característica, onde x = imu t - sigma^2 t^22.

Passo 5

Substituindo x na série de Taylor:
phiX(t) = 1 + (imu t - sigma^2 t^22) + (imu t - sigma^2 t^22)^22 + (imu t - sigma^2 t^22)^36 + dots
Como precisamos até a ordem s=3, vamos calcular até o termo do t^3.

Passo 6

Vamos calcular cada termo até t^3:
  1. Primeiro termo: 1
  2. Segundo termo: imu t - sigma^2 t^22
  3. Terceiro termo: (imu t)^22 = -mu^2 t^22
  4. Quarto termo: (imu t)^36 = (-imu^3 t^3)6
(Notem que termos com t^4 ou superiores são ignorados, já que queremos até t^3.)

Passo 7

Somando os termos calculados:
phiX(t) approx 1 + imu t - sigma^2 t^22 - mu^2 t^22 - imu^3 t^36
Podemos simplificar agrupando os termos similares.

Passo 8

Agrupando os termos:
phiX(t) approx 1 + imu t - (sigma^2 + mu^2) t^22 - imu^3 t^36
Essa é a função característica desenvolvida até a terceira ordem.

Resposta

A função característica desenvolvida até a ordem s=3 é:
phiX(t) approx 1 + imu t - (sigma^2 + mu^2) t^22 - imu^3 t^36

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