Desenvolver a função característica da variável aleatória Normal de média
e desvio padrão
, até a ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a função característica de uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média
e desvio padrão
, até a terceira ordem. Isso faz parte da matéria de Probabilidade, mais especificamente envolvendo funções de distribuição e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória
é definida como:
Aqui,
representa a esperança matemática e
é a unidade imaginária. Essa função é útil porque carrega toda a informação da distribuição de
.
Passo 3
Como
tem distribuição Normal com média
e desvio padrão
, sabemos que a função característica dessa distribuição é:
Mas a questão quer a gente desenvolver essa função até a terceira ordem. Para isso, vamos expandir a função exponencial usando a série de Taylor.
Passo 4
A série de Taylor para
em torno de 0 é:
Vamos aplicar isso na nossa função característica, onde
.
Passo 5
Substituindo
na série de Taylor:
Como precisamos até a ordem
, vamos calcular até o termo do
.
Passo 6
Vamos calcular cada termo até
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
(Notem que termos com
ou superiores são ignorados, já que queremos até
.)
Passo 7
Somando os termos calculados:
Podemos simplificar agrupando os termos similares.
Passo 8
Agrupando os termos:
Essa é a função característica desenvolvida até a terceira ordem.
Resposta
A função característica desenvolvida até a ordem
é: