Mostre que se X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de parâmetros
e
, respectivamente, então
tem distribuição normal de média
e variância
.
Passo 1
Vamos lá! Temos duas variáveis aleatórias, X e Y, que seguem distribuições normais. X tem média
e variância
, e Y tem média
e variância
. Além disso, elas são independentes, o que significa que o comportamento de uma não afeta a outra. Nosso objetivo é mostrar que a soma dessas duas variáveis, ou seja,
, também segue uma distribuição normal, e encontrar a média e a variância dessa nova distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das variáveis aleatórias independentes: a média da soma delas é igual à soma das médias individuais. Matemáticamente, isso significa:
Sabendo que
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da soma de X e Y. Para variáveis independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias individuais. Ou seja:
Sabendo que
e
, então:
Passo 4
Finalmente, temos que a soma de duas variáveis aleatórias normais independentes também segue uma distribuição normal. Isso é uma propriedade fundamental das distribuições normais. Portanto,
segue uma distribuição normal com média
e variância
.
Resposta
Então,
tem distribuição normal com média
e variância
.