Mostre que se X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de parâmetros (mu1, sigma1^2) e (mu2, sigma2^2), respectivamente, então X+Y tem distribuição normal de média mu1+mu2 e variância (sigma1^2+sigma2^2).

Passo 1

Vamos lá! Temos duas variáveis aleatórias, X e Y, que seguem distribuições normais. X tem média mu1 e variância sigma1^2, e Y tem média mu2 e variância sigma2^2. Além disso, elas são independentes, o que significa que o comportamento de uma não afeta a outra. Nosso objetivo é mostrar que a soma dessas duas variáveis, ou seja, X+Y, também segue uma distribuição normal, e encontrar a média e a variância dessa nova distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das variáveis aleatórias independentes: a média da soma delas é igual à soma das médias individuais. Matemáticamente, isso significa:
E[X + Y] = E[X] + E[Y]
Sabendo que E[X] = mu1 e E[Y] = mu2, então:
E[X + Y] = mu1 + mu2

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da soma de X e Y. Para variáveis independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias individuais. Ou seja:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
Sabendo que Var(X) = sigma1^2 e Var(Y) = sigma2^2, então:
Var(X + Y) = sigma1^2 + sigma2^2

Passo 4

Finalmente, temos que a soma de duas variáveis aleatórias normais independentes também segue uma distribuição normal. Isso é uma propriedade fundamental das distribuições normais. Portanto, X+Y segue uma distribuição normal com média mu1+mu2 e variância sigma1^2+sigma2^2.

Resposta

Então, X+Y tem distribuição normal com média mu1+mu2 e variância sigma1^2+sigma2^2.

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