Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Bernoulli§
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função característica de uma variável aleatória do tipo Bernoulli§. Isso está ligado ao estudo de probabilidades e estatística, especificamente na parte que trata de variáveis aleatórias e suas distribuições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função característica e como aplicá-la à distribuição de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma variável aleatória Bernoulli§. Ela é uma variável que pode assumir apenas dois valores: 0 e 1. A probabilidade de tomar o valor 1 é p e, consequentemente, a probabilidade de ser 0 é 1 - p.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
onde $ E $ representa o valor esperado e $ t $ é um número real. Essa função é muito útil porque ela carrega todas as informações da distribuição da variável aleatória.
Passo 4
Vamos calcular $ E[e^{itX}] $ para a nossa variável Bernoulli§. Sabendo que $ X $ pode ser 0 ou 1, temos:
Passo 5
Simplificando as expressões:
Então:
Resposta
A função característica da variável aleatória Bernoulli§ é: