Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Bernoulli§

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função característica de uma variável aleatória do tipo Bernoulli§. Isso está ligado ao estudo de probabilidades e estatística, especificamente na parte que trata de variáveis aleatórias e suas distribuições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função característica e como aplicá-la à distribuição de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma variável aleatória Bernoulli§. Ela é uma variável que pode assumir apenas dois valores: 0 e 1. A probabilidade de tomar o valor 1 é p e, consequentemente, a probabilidade de ser 0 é 1 - p.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
X
onde $ E $ representa o valor esperado e $ t $ é um número real. Essa função é muito útil porque ela carrega todas as informações da distribuição da variável aleatória.

Passo 4

Vamos calcular $ E[e^{itX}] $ para a nossa variável Bernoulli§. Sabendo que $ X $ pode ser 0 ou 1, temos:
E[e^itX]
X

Passo 5

Simplificando as expressões:
e^0 = 1
Então:
phiX(t) = 1 cdot (1 - p) + e^it cdot p
phiX(t) = 1 - p + p e^it

Resposta

A função característica da variável aleatória Bernoulli§ é:
phiX(t) = 1 - p + p, e^it

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