Desprezando os parafusos, determine a posição x do centro de massa, sabendo que todas as placas têm espessura de 20 mm e dimensões iguais a 200 mm na direção do eixo z (entrando no plano da folha). As placas A e B são feitas de aço, de densidade rho=78,5 kN / m 3, e a placa C é feita de alumínio, de densidade rho=27,1 kN / m 3. Utilize a equação e a tabela dadas.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre centro de massa. Precisamos descobrir a posição $ x $ do centro de massa de três placas (A, B e C) com diferentes densidades e dimensões iguais. As placas A e B são de aço com densidade $ \rho = 78,5 , kN/m^3 $ e a placa C é de alumínio com densidade $ \rho = 27,1 , kN/m^3 $. Todas as placas têm 20 mm de espessura e 200 mm na direção do eixo $ z $. Vamos usar a equação do centro de massa e os dados fornecidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Para calcular a posição $ x $ do centro de massa, usamos a fórmula:
x
Onde $ m_i $ é a massa de cada placa e $ x_i $ é a posição de cada placa em relação a um ponto de referência.

Passo 3

Vamos calcular a massa de cada placa. A massa $ m $ é dada por:
m
Onde $ V $ é o volume da placa. Como todas as placas têm a mesma espessura e dimensões na direção $ z $, podemos calcular o volume de uma placa:
m = rho cdot V á

Passo 4

Agora, calculamos a massa de cada placa:
  • Placas A e B (aço):
mA = mB = 78,5 , kN/m^3 times 0,0008 , m^3 = 0,0628 , kN
  • Placa C (alumínio):
mC = 27,1 , kN/m^3 times 0,0008 , m^3 = 0,0217 , kN

Passo 5

Precisamos também saber as posições $ x_i $ de cada placa. Supondo que as placas A, B e C estejam em posições $ x_A $, $ x_B $ e $ x_C $ respectivamente. Vamos precisar dessas posições específicas para continuar. Se, por exemplo, assumirmos que $ x_A = 0 , m $, $ x_B = 0,2 , m $ e $ x_C = 0,1 , m $, podemos seguir.

Passo 6

Aplicando a fórmula do centro de massa:
xcm = (mA cdot xA) + (mB cdot xB) + (mC cdot xC)mA + mB + mC
Substituindo os valores:
xcm = (0,0628 cdot 0) + (0,0628 cdot 0,2) + (0,0217 cdot 0,1)0,0628 + 0,0628 + 0,0217
xcm = 0 + 0,01256 + 0,002170,1473 approx 0,014730,1473 approx 0,1 , m

Resposta

A posição $ x $ do centro de massa é aproximadamente $ 0,1 , metros $.

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