Determinada linha de produção apresenta 5% de defeito nas peças produzidas. Após realizar inspeção em cerca de 15 peças de um setor, qual a probabilidade de se encontrar no máximo uma peça com defeito?
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema: temos uma linha de produção onde 5% das peças são defeituosas. Vamos inspecionar 15 peças e queremos saber qual a probabilidade de encontrar, no máximo, uma peça com defeito. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos definir os parâmetros que vamos precisar:
- n (número de tentativas) = 15 peças
- p (probabilidade de sucesso, ou seja, uma peça ser defeituosa) = 0,05
- q (probabilidade de fracasso, ou seja, uma peça não ser defeituosa) = 1 - p = 0,95
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
- $ p^{k} $ é a probabilidade de obter exatamente k sucessos.
- $ q^{n-k} $ é a probabilidade de obter os restantes (n - k) fracassos.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de nenhuma peça ser defeituosa ($ k = 0 $):
Como $ \binom{15}{0} = 1 $ e $ 0,05^{0} = 1 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa ($ k = 1 $):
Sabendo que $ \binom{15}{1} = 15 $:
Passo 6
Para encontrar a probabilidade de no máximo uma peça ser defeituosa, somamos as probabilidades de $ k = 0 $ e $ k = 1 $:
Resposta
A probabilidade de encontrar no máximo uma peça com defeito é aproximadamente 82,94%.