Determinada linha de produção apresenta 5% de defeito nas peças produzidas. Após realizar inspeção em cerca de 15 peças de um setor, qual a probabilidade de se encontrar no máximo uma peça com defeito?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema: temos uma linha de produção onde 5% das peças são defeituosas. Vamos inspecionar 15 peças e queremos saber qual a probabilidade de encontrar, no máximo, uma peça com defeito. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros que vamos precisar:
  • n (número de tentativas) = 15 peças
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, uma peça ser defeituosa) = 0,05
  • q (probabilidade de fracasso, ou seja, uma peça não ser defeituosa) = 1 - p = 0,95

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n-k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • $ p^{k} $ é a probabilidade de obter exatamente k sucessos.
  • $ q^{n-k} $ é a probabilidade de obter os restantes (n - k) fracassos.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de nenhuma peça ser defeituosa ($ k = 0 $):
k = 0
Como $ \binom{15}{0} = 1 $ e $ 0,05^{0} = 1 $:
P(X = 0) = binom150 times 0,05^0 times 0,95^15

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa ($ k = 1 $):
k = 1
Sabendo que $ \binom{15}{1} = 15 $:
P(X = 1) = binom151 times 0,05^1 times 0,95^14

Passo 6

Para encontrar a probabilidade de no máximo uma peça ser defeituosa, somamos as probabilidades de $ k = 0 $ e $ k = 1 $:
k = 0

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo uma peça com defeito é aproximadamente 82,94%.

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