Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado pela lei v(t) = k.2^-0,2t onde k é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre depreciação de uma máquina industrial. A máquina perde valor com o tempo, e a gente quer descobrir quanto ela custou quando foi comprada. Para isso, vamos usar uma fórmula que relaciona o valor da máquina depois de certo tempo com o valor inicial. Precisamos entender um pouquinho sobre funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fórmula que foi dada:
Aqui, $ v(t) $ é o valor da máquina após $ t $ anos, e $ k $ é o valor inicial que queremos descobrir. A fórmula mostra que o valor da máquina diminui à medida que o tempo passa, seguindo uma taxa de depreciação exponencial.
Passo 3
Sabemos que após 10 anos ($ t = 10 $), o valor da máquina é de R$ 12.000,00. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ k $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão no expoente:
E sabemos que $ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $. Então, a equação fica:
Passo 5
Para encontrar $ k $, isolamos ele na equação. Multiplicamos ambos os lados por 4:
Passo 6
Calculando o valor:
Resposta
O valor inicial da máquina foi de R$ 48.000,00.