Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado pela lei v(t) = k.2^-0,2t onde k é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre depreciação de uma máquina industrial. A máquina perde valor com o tempo, e a gente quer descobrir quanto ela custou quando foi comprada. Para isso, vamos usar uma fórmula que relaciona o valor da máquina depois de certo tempo com o valor inicial. Precisamos entender um pouquinho sobre funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fórmula que foi dada:
v(t) = k cdot 2^-0,2t
Aqui, $ v(t) $ é o valor da máquina após $ t $ anos, e $ k $ é o valor inicial que queremos descobrir. A fórmula mostra que o valor da máquina diminui à medida que o tempo passa, seguindo uma taxa de depreciação exponencial.

Passo 3

Sabemos que após 10 anos ($ t = 10 $), o valor da máquina é de R$ 12.000,00. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ k $:
t = 10

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no expoente:
2^-0,2 cdot 10 = 2^-2
E sabemos que $ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $. Então, a equação fica:
2^-2 = 12^2 = 14

Passo 5

Para encontrar $ k $, isolamos ele na equação. Multiplicamos ambos os lados por 4:
k

Passo 6

Calculando o valor:
k = 48000

Resposta

O valor inicial da máquina foi de R$ 48.000,00.

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