Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de 20.000 reais, sabendo que a taxa de juros compostos é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um capital que, aplicando juros compostos de 2% ao mês, depois de 24 meses resultou em um montante de R$20.000. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi esse capital inicial. Para isso, vamos usar a fórmula dos juros compostos, que nos ajuda a calcular quanto dinheiro teremos após um certo tempo com uma taxa de juros aplicada periodicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula dos juros compostos. Ela é assim:
M = C times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final (R$20.000)
  • $ C $ é o capital inicial que queremos encontrar
  • $ i $ é a taxa de juros por período (2% ao mês, ou 0,02 em decimal)
  • $ n $ é o número de períodos (24 meses)

Passo 3

Sabemos que queremos encontrar o capital $ C $. Então, precisamos isolar $ C $ na fórmula. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por $ (1 + i)^n $:
C

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Temos:
  • $ M = 20.000 $
  • $ i = 0,02 $ (porque 2% é igual a 0,02)
  • $ n = 24 $
Então:
M = 20.000

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ (1 + 0,02)^{24} $. Primeiro, somamos 1 com a taxa de juros:
(1 + 0,02)^24
Agora, elevamos 1,02 à potência de 24:
1 + 0,02 = 1,02

Passo 6

Com esse resultado, podemos substituir de volta na fórmula para encontrar $ C $:
C
C = 20.0001,6010

Resposta

O valor do capital inicial é aproximadamente R$12.493,44.

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