Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de 20.000 reais, sabendo que a taxa de juros compostos é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um capital que, aplicando juros compostos de 2% ao mês, depois de 24 meses resultou em um montante de R$20.000. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi esse capital inicial. Para isso, vamos usar a fórmula dos juros compostos, que nos ajuda a calcular quanto dinheiro teremos após um certo tempo com uma taxa de juros aplicada periodicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula dos juros compostos. Ela é assim:
Onde:
- $ M $ é o montante final (R$20.000)
- $ C $ é o capital inicial que queremos encontrar
- $ i $ é a taxa de juros por período (2% ao mês, ou 0,02 em decimal)
- $ n $ é o número de períodos (24 meses)
Passo 3
Sabemos que queremos encontrar o capital $ C $. Então, precisamos isolar $ C $ na fórmula. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por $ (1 + i)^n $:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Temos:
- $ M = 20.000 $
- $ i = 0,02 $ (porque 2% é igual a 0,02)
- $ n = 24 $
Então:
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ (1 + 0,02)^{24} $. Primeiro, somamos 1 com a taxa de juros:
Agora, elevamos 1,02 à potência de 24:
Passo 6
Com esse resultado, podemos substituir de volta na fórmula para encontrar $ C $:
Resposta
O valor do capital inicial é aproximadamente R$12.493,44.