Para um determinado material com G=80 GPa e E=200 GPa, determine o tensor de deformações para o seguinte estado de tensão (8 pontos):
[ccc20 & -4 & 5 -4 & 0 & 10 5 & 10 & 15] MPa
Dica: usar as equações abaixo: (Lei de Hook Generalizada (3D) para materiais isotrópicos)
ll varepsilonx=1E[sigmax-v(sigmay+sigmaz)], & gammax y=taux yG varepsilony=1E[sigmay-v(sigmax+sigmaz)], & gammay z=tauy zG varepsilonz=1E[sigmaz-v(sigmax+sigmay)], & gammax z=taux zG

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um material com o módulo de cisalhamento e o módulo de Young . Precisamos encontrar o tensor de deformações para o estado de tensão dado. Para isso, vamos usar a Lei de Hook Generalizada para materiais isotrópicos, que relaciona as tensões com as deformações usando as fórmulas que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa descobrir o coeficiente de Poisson E = 2G(1 + nu) . A relação entre nu = E2G - 1 , nu = 2002 times 80 - 1 = 200160 - 1 = 1,25 - 1 = 0,25 e para materiais isotrópicos é dada por:
Vamos rearranjar essa equação para encontrar :
Substituindo os valores:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular as deformações normais varepsilonx = 1E [ sigmax - nu (sigmay + sigmaz) ] , varepsilony = 1E [ sigmay - nu (sigmax + sigmaz) ] e varepsilonz = 1E [ sigmaz - nu (sigmax + sigmay) ] usando as fórmulas da Lei de Hook:
varepsilonx = 1200 [ 20 - 0,25 (0 + 15) ] = 1200 (20 - 3,75) = 16,25200 = 0,08125
varepsilony = 1200 [ 0 - 0,25 (20 + 15) ] = 1200 (0 - 8,75) = -8,75200 = -0,04375
varepsilonz = 1200 [ 15 - 0,25 (20 + 0) ] = 1200 (15 - 5) = 10200 = 0,05
Vamos substituir os valores das tensões:
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular as deformações de cisalhamento gammaij = tauijG , gammaxy = -480 = -0,05 e gammayz = 1080 = 0,125 usando a fórmula:
gammaxz = 580 = 0,0625
Onde são as tensões de cisalhamento:
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Resposta

O tensor de deformações para o estado de tensão dado é:
0,08125 & -0,05 & 0,0625 -0,05 & -0,04375 & 0,125 0,0625 & 0,125 & 0,05

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