Para uma determinada barragem de concreto, a deformação crítica foi medida em um determinado ponto da sua seção transversal e os valores encontrados foram: (8 pontos)
Determine o tensor de tensões, onde E=30 GPa e G=12 GPa. Dica: usar as equações da Lei de Hook
Generalizada (3D) para materiais isotrópicos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barragem de concreto que teve suas deformações medidas em um ponto específico da seção transversal. A gente precisa determinar o tensor de tensões usando a Lei de Hooke Generalizada para materiais isotrópicos. Para isso, vamos usar os valores do módulo de elasticidade GPa e o módulo de cisalhamento GPa. Vamos precisar entender como relacionar deformações e tensões em 3D para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em materiais isotrópicos (que têm as mesmas propriedades em todas as direções), a relação entre tensões e deformações é dada pela Lei de Hooke Generalizada. Essa lei nos diz como as deformações estão relacionadas com as tensões aplicadas, dependendo das propriedades do material, como o módulo de elasticidade e o módulo de cisalhamento .
Passo 3
Para aplicar a Lei de Hooke em 3D, precisamos do tensor de deformações e dos módulos varepsilon = 200 & 100 & 0 100 & 300 & 400 0 & 400 & 0 , mu e . Nosso tensor de deformações é dado pela matriz:
Aqui, representa a unidade de deformação.
Passo 4
Antes de mais nada, vamos encontrar o coeficiente de Poisson E = 2G(1 + nu) , que relaciona nu = E2G - 1 e nu = 302 times 12 - 1 = 3024 - 1 = 1,25 - 1 = 0,25 . A relação entre eles é:
Vamos isolar :
Substituindo os valores dados:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz de conformidade C = E(1 + nu)(1 - 2nu) 1 - nu & nu & nu & 0 & 0 & 0 nu & 1 - nu & nu & 0 & 0 & 0 nu & nu & 1 - nu & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 - 2nu2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2nu2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2nu2 , que relaciona as tensões com as deformações. Para materiais isotrópicos, a matriz em 3D é dada por:
Passo 6
Vamos calcular o fator de escala:
f = E(1 + nu)(1 - 2nu) = 30(1 + 0,25)(1 - 2 times 0,25) = 301,25 times 0,5 = 300,625 = 48 , GPa
Agora, temos que varepsilonv = varepsilonxx varepsilonyy varepsilonzz gammayz gammaxz gammaxy = 200 300 0 400 0 100 mu . Mas primeiro, precisamos expressar o tensor de deformações em vetor, seguindo a ordem:
Aqui, note que as deformações de cisalhamento são geralmente divididas por 2 na matriz de conformidade, mas para simplificação, vamos considerar os valores diretamente.