Para uma determinada barragem de concreto, a deformação crítica foi medida em um determinado ponto da sua seção transversal e os valores encontrados foram: (8 pontos)
[ccc 200 & 100 & 0 100 & 300 & 400 0 & 400 & 0 ] mu
Determine o tensor de tensões, onde E=30 GPa e G=12 GPa. Dica: usar as equações da Lei de Hook
Generalizada (3D) para materiais isotrópicos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barragem de concreto que teve suas deformações medidas em um ponto específico da seção transversal. A gente precisa determinar o tensor de tensões usando a Lei de Hooke Generalizada para materiais isotrópicos. Para isso, vamos usar os valores do módulo de elasticidade GPa e o módulo de cisalhamento GPa. Vamos precisar entender como relacionar deformações e tensões em 3D para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em materiais isotrópicos (que têm as mesmas propriedades em todas as direções), a relação entre tensões e deformações é dada pela Lei de Hooke Generalizada. Essa lei nos diz como as deformações estão relacionadas com as tensões aplicadas, dependendo das propriedades do material, como o módulo de elasticidade e o módulo de cisalhamento .

Passo 3

Para aplicar a Lei de Hooke em 3D, precisamos do tensor de deformações e dos módulos varepsilon = 200 & 100 & 0 100 & 300 & 400 0 & 400 & 0 , mu e . Nosso tensor de deformações é dado pela matriz:
Aqui, representa a unidade de deformação.

Passo 4

Antes de mais nada, vamos encontrar o coeficiente de Poisson E = 2G(1 + nu) , que relaciona nu = E2G - 1 e nu = 302 times 12 - 1 = 3024 - 1 = 1,25 - 1 = 0,25 . A relação entre eles é:
Vamos isolar :
Substituindo os valores dados:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz de conformidade C = E(1 + nu)(1 - 2nu) 1 - nu & nu & nu & 0 & 0 & 0 nu & 1 - nu & nu & 0 & 0 & 0 nu & nu & 1 - nu & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 - 2nu2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2nu2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2nu2 , que relaciona as tensões com as deformações. Para materiais isotrópicos, a matriz em 3D é dada por:

Passo 6

Vamos calcular o fator de escala:
f = E(1 + nu)(1 - 2nu) = 30(1 + 0,25)(1 - 2 times 0,25) = 301,25 times 0,5 = 300,625 = 48 , GPa

Passo 7

Substituindo na matriz C = 48 0,75 & 0,25 & 0,25 & 0 & 0 & 0 0,25 & 0,75 & 0,25 & 0 & 0 & 0 0,25 & 0,25 & 0,75 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,5 = 36 & 12 & 12 & 0 & 0 & 0 12 & 36 & 12 & 0 & 0 & 0 12 & 12 & 36 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 24 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 24 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 24 , GPa :

Passo 8

Agora, temos que varepsilonv = varepsilonxx varepsilonyy varepsilonzz gammayz gammaxz gammaxy = 200 300 0 400 0 100 mu . Mas primeiro, precisamos expressar o tensor de deformações em vetor, seguindo a ordem:
Aqui, note que as deformações de cisalhamento são geralmente divididas por 2 na matriz de conformidade, mas para simplificação, vamos considerar os valores diretamente.

Passo 9

Multiplicando a matriz sigmav = C cdot varepsilonv = 36 & 12 & 12 & 0 & 0 & 0 12 & 36 & 12 & 0 & 0 & 0 12 & 12 & 36 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 24 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 24 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 24 200 300 0 400 0 100 mu pelo vetor :
Vamos calcular cada componente:
  • GPa
  • GPa
  • GPa
  • GPa
  • GPa
  • GPa

Resposta

O tensor de tensões é dado por:
sigma = 10800 & 13200 & 6000 13200 & 9600 & 2400 6000 & 2400 & 0 mu , GPa

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