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Dados os planos e , encontre a equação do plano que contem e é perpendicular a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois problemas aqui que envolvem geometria analítica no espaço. Primeiro, precisamos encontrar a equação de um plano que passa por uma reta específica e é paralelo a outra reta. Depois, vamos achar a equação de um plano que contém a interseção de dois planos dados e é perpendicular a um terceiro plano. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, retas paralelas e perpendiculares, além de como encontrar equações de planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro Problema: Encontrar a equação do plano que passa pela reta definida pelas duas equações
e é paralelo à reta
Primeiro, vamos entender a reta que está sendo passada como condição. As equações das retas podem ser parametrizadas para encontrar a direção.
Passo 2.1: Encontrar a direção da reta dada pelas equações do sistema.
Podemos resolver o sistema para encontrar pontos na reta e, a partir daí, a direção.
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a segunda equação por 3 para facilitar:
O vetor diretor dessa reta é dado pelos coeficientes de t:
Passo 2.2: Determinar a direção da reta à qual o plano deve ser paralelo.
A reta dada é:
O vetor diretor dessa reta é:
Passo 2.3: Encontrar o vetor normal ao plano.
Como o plano precisa ser paralelo à reta s, o vetor diretor dessa reta deve estar no plano. Portanto, o vetor normal do plano deve ser perpendicular a .
Além disso, o plano contém a reta definida pelas equações do sistema, cujo vetor diretor já encontramos como .
Então, o vetor normal do plano deve ser perpendicular a ambos os vetores e . Para encontrar , fazemos o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
n = d1 times d2 = i & j & k -7/5 & -2/5 & 1 3 & 3 & -3
Podemos simplificar multiplicando por 5:
n = i ( (-2/5)(-3) - (1)(3) ) - j ( (-7/5)(-3) - (1)(3) ) + k ( (-7/5)(3) - (-2/5)(3) ) = i ( 65 - 3 ) - j ( 215 - 3 ) + k ( -215 + 65 ) = i ( 65 - 155 ) - j ( 215 - 155 ) + k ( -21 + 65 ) = i ( -95 ) - j ( 65 ) + k ( -155 ) = ( -95, -65, -3 )
Podemos factorizar um -3:
n = (-9, -6, -15)
Como o vetor normal pode ser qualquer múltiplo, podemos usar simplificado:
n = -3(3, 2, 5)
Passo 2.4: Encontrar um ponto no plano.
Vamos encontrar um ponto que está na reta definida pelas equações do sistema. Podemos escolher t=0 na parametrização encontrada:
n = (3, 2, 5)
Portanto, o ponto x = -8 - 05 = -85 y = -3 - 05 = -35 z = 0 está no plano.
Passo 2.5: Escrever a equação do plano.
Com o vetor normal P ( -85, -35, 0 ) e o ponto n = (3, 2, 5), a equação do plano é:
P
Passo 3
Segundo Problema: Dados os planos pi1: 2x + y - 3z + 1 = 0, pi2: x + y + z + 1 = 0, e pi3: x - 2y + z + 5 = 0, encontrar a equação do plano que contém a interseção pi1 cap pi2 e é perpendicular a pi3.
Passo 3.1: Encontrar a interseção dos planos pi1 e pi2.
A interseção de dois planos é uma reta. Para encontrar a direção dessa reta, podemos calcular o produto vetorial dos vetores normais dos planos pi1 e pi2.
Portanto, a direção da reta de interseção é d = (4, -5, 1).
Passo 3.2: Encontrar um ponto de interseção entre pi1 e pi2.
Podemos resolver o sistema:
2x + y - 3z = -1 x + y + z = -1
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2x + y - 3z) - (x + y + z) = -1 - (-1) x - 4z = 0 x = 4z
Substituindo x = 4z na segunda equação:
4z + y + z = -1 5z + y = -1 y = -1 - 5z
Escolhendo z = 0, por simplicidade:
x = 0, y = -1, z = 0
Então, o ponto Q(0, -1, 0) está na reta de interseção.
Passo 3.3: Determinar o vetor normal do plano desejado.
Queremos que o plano seja perpendicular a pi3, cujo vetor normal é n3 = (1, -2, 1). Portanto, o vetor normal do nosso plano deve ser paralelo a , ou seja, n3.
Passo 3.4: Escrever a equação do plano.
Com o vetor normal n = n3 = (1, -2, 1) e passando pelo ponto n = (1, -2, 1), a equação do plano é: