Determinar a equação do plano que passa pela reta
l 3 x+2 y+5 z+6=0 x+4 y+3 z+4=0
e é paralelo à reta
s: x-13=y-53=-z+13
22
Dados os planos pi1: 2 x+y-3 z+1=0, pi2: x+y+z+1=0 e pi3: x-2 y+z+5=0, encontre a equação do plano que contem pi1 cap pi2 e é perpendicular a pi3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois problemas aqui que envolvem geometria analítica no espaço. Primeiro, precisamos encontrar a equação de um plano que passa por uma reta específica e é paralelo a outra reta. Depois, vamos achar a equação de um plano que contém a interseção de dois planos dados e é perpendicular a um terceiro plano. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, retas paralelas e perpendiculares, além de como encontrar equações de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro Problema: Encontrar a equação do plano que passa pela reta definida pelas duas equações
3x + 2y + 5z + 6 = 0 x + 4y + 3z + 4 = 0
e é paralelo à reta
s: x-13 = y-53 = z+1-3
Primeiro, vamos entender a reta que está sendo passada como condição. As equações das retas podem ser parametrizadas para encontrar a direção.
Passo 2.1: Encontrar a direção da reta dada pelas equações do sistema.
Podemos resolver o sistema para encontrar pontos na reta e, a partir daí, a direção.
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a segunda equação por 3 para facilitar:
3x + 2y + 5z = -6 3x + 12y + 9z = -12
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3x + 12y + 9z) - (3x + 2y + 5z) = -12 - (-6) 10y + 4z = -6 5y + 2z = -3
Podemos parametrizar com z = t:
5y + 2t = -3 y = -3 - 2t5
E então, substituindo y e z na primeira equação:
$$
3x + 2\left(\frac{-3 - 2t}{5}\right) + 5t = -6 \
3x - \frac{6 + 4t}{5} + 5t = -6 \
Multiplicando tudo por 5 para eliminar denominadores:
15x - (6 + 4t) + 25t = -30 \
15x + 21t = -24 \
x = \frac{-24 - 21t}{15} = \frac{-8 - 7t}{5}
$$
Portanto, a equação paramétrica da reta é:
3x + 2(-3 - 2t5) + 5t = -6 3x - 6 + 4t5 + 5t = -6 Mu
O vetor diretor dessa reta é dado pelos coeficientes de t:
x = -8 - 7t5, y = -3 - 2t5, z = t
Passo 2.2: Determinar a direção da reta à qual o plano deve ser paralelo.
A reta dada é:
d1 = ( -75, -25, 1 )
O vetor diretor dessa reta é:
s: x-13 = y-53 = z+1-3
Passo 2.3: Encontrar o vetor normal ao plano.
Como o plano precisa ser paralelo à reta s, o vetor diretor dessa reta deve estar no plano. Portanto, o vetor normal do plano deve ser perpendicular a d2 = (3, 3, -3) .
Além disso, o plano contém a reta definida pelas equações do sistema, cujo vetor diretor já encontramos como d2.
Então, o vetor normal d1 do plano deve ser perpendicular a ambos os vetores n e d1. Para encontrar d2, fazemos o produto vetorial entre n e d1:
d2
Calculando o determinante:
n = d1 times d2 = i & j & k -7/5 & -2/5 & 1 3 & 3 & -3
Podemos simplificar multiplicando por 5:
n = i ( (-2/5)(-3) - (1)(3) ) - j ( (-7/5)(-3) - (1)(3) ) + k ( (-7/5)(3) - (-2/5)(3) ) = i ( 65 - 3 ) - j ( 215 - 3 ) + k ( -215 + 65 ) = i ( 65 - 155 ) - j ( 215 - 155 ) + k ( -21 + 65 ) = i ( -95 ) - j ( 65 ) + k ( -155 ) = ( -95, -65, -3 )
Podemos factorizar um -3:
n = (-9, -6, -15)
Como o vetor normal pode ser qualquer múltiplo, podemos usar simplificado:
n = -3(3, 2, 5)
Passo 2.4: Encontrar um ponto no plano.
Vamos encontrar um ponto que está na reta definida pelas equações do sistema. Podemos escolher t=0 na parametrização encontrada:
n = (3, 2, 5)
Portanto, o ponto x = -8 - 05 = -85 y = -3 - 05 = -35 z = 0 está no plano.
Passo 2.5: Escrever a equação do plano.
Com o vetor normal P ( -85, -35, 0 ) e o ponto n = (3, 2, 5), a equação do plano é:
P

Passo 3

Segundo Problema: Dados os planos pi1: 2x + y - 3z + 1 = 0, pi2: x + y + z + 1 = 0, e pi3: x - 2y + z + 5 = 0, encontrar a equação do plano que contém a interseção pi1 cap pi2 e é perpendicular a pi3.
Passo 3.1: Encontrar a interseção dos planos pi1 e pi2.
A interseção de dois planos é uma reta. Para encontrar a direção dessa reta, podemos calcular o produto vetorial dos vetores normais dos planos pi1 e pi2.
Os vetores normais são:
n1 = (2, 1, -3), n2 = (1, 1, 1)
Produto vetorial:
d = n1 times n2 = i & j & k 2 & 1 & -3 1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - (-3) cdot 1) - j(2 cdot 1 - (-3) cdot 1) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 1) = i(1 + 3) - j(2 + 3) + k(2 - 1) = 4i - 5j + k
Portanto, a direção da reta de interseção é d = (4, -5, 1).
Passo 3.2: Encontrar um ponto de interseção entre pi1 e pi2.
Podemos resolver o sistema:
2x + y - 3z = -1 x + y + z = -1
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2x + y - 3z) - (x + y + z) = -1 - (-1) x - 4z = 0 x = 4z
Substituindo x = 4z na segunda equação:
4z + y + z = -1 5z + y = -1 y = -1 - 5z
Escolhendo z = 0, por simplicidade:
x = 0, y = -1, z = 0
Então, o ponto Q(0, -1, 0) está na reta de interseção.
Passo 3.3: Determinar o vetor normal do plano desejado.
Queremos que o plano seja perpendicular a pi3, cujo vetor normal é n3 = (1, -2, 1). Portanto, o vetor normal do nosso plano deve ser paralelo a , ou seja, n3.
Passo 3.4: Escrever a equação do plano.
Com o vetor normal n = n3 = (1, -2, 1) e passando pelo ponto n = (1, -2, 1), a equação do plano é:
Q(0, -1, 0)

Resposta

A equação do plano desejado é x - 2y + z - 2 = 0.

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f) lx-y=0 x+z=0
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(a) determinar 3 v-2 u-w.
Dados os vetores u=(1,-2), v=(3,2) e w=(-1,6) :
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