Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(2,-1,3), tal que u.v=-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Vetorial. A tarefa é encontrar um vetor v que seja paralelo ao vetor u = (2, -1, 3) e que o produto escalar entre u e v seja igual a -4. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores paralelos e como funciona o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são paralelos se um é um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se v é paralelo a u, então v = k * u, onde k é um número real que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição que o produto escalar entre u e v é igual a -4. O produto escalar entre dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Como v = k * u, podemos substituir:
u cdot v = u cdot (ku) = k(u cdot u)

Passo 4

Então, temos que:
k(u cdot u) = -4
Primeiro, calculamos u cdot u:
u cdot u = 2*2 + (-1)*(-1) + 3*3 = 4 + 1 + 9 = 14

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação:
k * 14 = -4
Para achar k, dividimos ambos os lados por 14:
k = -414 = -27

Passo 6

Finalmente, substituímos o valor de k de volta em v = k * u:
v = -27 * (2, -1, 3) = ( -47, 27, -67 )

Resposta

O vetor v que é paralelo a u = (2, -1, 3) e satisfaz u cdot v = -4 é:
v = ( -47, 27, -67 )

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