Determine a área da superfície: A parte da esfera x² + y² + z² = a² que está dentro do cilindro x² + y² = ax e acima do plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície da parte da esfera $ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 $ que está dentro do cilindro $ x^2 + y^2 = a x $ e acima do plano $ xy $. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as formas envolvidas:
  • Esfera: $ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 $ é uma esfera com raio $ a $ centrada na origem.
  • Cilindro: $ x^2 + y^2 = a x $ pode ser reescrito como $ (x - \frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2 $, o que indica um cilindro de raio $ \frac{a}{2} $ centrado em $ (\frac{a}{2}, 0) $ no plano $ xy $.
  • Plano $ xy $: O plano onde $ z = 0 $.
Queremos a área da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano $ xy $. Vamos visualizar essa região para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a integração. Nas coordenadas esféricas:
  • $ x = r \sin \phi \cos \theta $
  • $ y = r \sin \phi \sin \theta $
  • $ z = r \cos \phi $
Onde:
  • $ r $ é o raio (neste caso, $ r = a $)
  • $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $
  • $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $
A fórmula da área superficial na esfera é dada por:
x = r sin phi cos theta
Como queremos a área da esfera $ r = a $, temos:
y = r sin phi sin theta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \phi $ e $ \theta $ que correspondem à região dentro do cilindro e acima do plano $ xy $.
Primeiro, como estamos acima do plano $ xy $, $ z \geq 0 $, o que implica $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Para o cilindro $ x^2 + y^2 = a x $, vamos substituir nas coordenadas esféricas:
phi
theta
xy
xy
Então, o limite para $ \theta $ é quando $ \sin \phi = \cos \theta $.

Passo 5

Resolvendo $ \sin \phi = \cos \theta $, podemos expressar $ \theta $ em termos de $ \phi $:
sin phi = cos theta
Mas para integrar, precisamos de uma relação mais direta entre $ \phi $ e $ \theta $. Observando a simetria, podemos perceber que $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $. Porém, para a área dentro do cilindro, $ \theta $ estará limitado a essa faixa.

Passo 6

Vamos expressar a área integral:
A = integral integral dA = a^2 integralthetamin^thetamax integral0^pi2 sin phi , dphi , dtheta
Com base nos limites determinados, $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 7

Integrando em relação a $ \phi $:
phi
Então, a integral simplifica para:
integral0^pi2 sin phi , dphi = -cos phi |0^pi2 = -cos ( pi2 ) + cos(0) = 0 + 1 = 1

Resposta

A área da superfície da parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano $ xy $ é $ A = a^2 \pi $.

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