Determine a área da superfície: A parte da esfera x² + y² + z² = a² que está dentro do cilindro x² + y² = ax e acima do plano xy.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície da parte da esfera $ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 $ que está dentro do cilindro $ x^2 + y^2 = a x $ e acima do plano $ xy $. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as formas envolvidas:
- Esfera: $ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 $ é uma esfera com raio $ a $ centrada na origem.
- Cilindro: $ x^2 + y^2 = a x $ pode ser reescrito como $ (x - \frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2 $, o que indica um cilindro de raio $ \frac{a}{2} $ centrado em $ (\frac{a}{2}, 0) $ no plano $ xy $.
- Plano $ xy $: O plano onde $ z = 0 $.
Queremos a área da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano $ xy $. Vamos visualizar essa região para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a integração. Nas coordenadas esféricas:
- $ x = r \sin \phi \cos \theta $
- $ y = r \sin \phi \sin \theta $
- $ z = r \cos \phi $
Onde:
- $ r $ é o raio (neste caso, $ r = a $)
- $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $
- $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $
A fórmula da área superficial na esfera é dada por:
Como queremos a área da esfera $ r = a $, temos:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \phi $ e $ \theta $ que correspondem à região dentro do cilindro e acima do plano $ xy $.
Primeiro, como estamos acima do plano $ xy $, $ z \geq 0 $, o que implica $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Para o cilindro $ x^2 + y^2 = a x $, vamos substituir nas coordenadas esféricas:
Então, o limite para $ \theta $ é quando $ \sin \phi = \cos \theta $.
Passo 5
Resolvendo $ \sin \phi = \cos \theta $, podemos expressar $ \theta $ em termos de $ \phi $:
Mas para integrar, precisamos de uma relação mais direta entre $ \phi $ e $ \theta $. Observando a simetria, podemos perceber que $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $. Porém, para a área dentro do cilindro, $ \theta $ estará limitado a essa faixa.
Passo 6
Vamos expressar a área integral:
Com base nos limites determinados, $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 7
Integrando em relação a $ \phi $:
Então, a integral simplifica para:
Resposta
A área da superfície da parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano $ xy $ é $ A = a^2 \pi $.