Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(d) y' = x^2 / y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisamos descobrir se ela é separável. Se for, a gente vai resolver encontrando a solução geral. Para isso, vamos precisar entender o que são equações separáveis e como aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação separável. Uma equação diferencial é separável quando dá para escrever na forma , ou seja, conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da igualdade. Isso facilita a resolução porque a gente pode integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Olha só a nossa equação: . Podemos reescrever como , então temos:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:
Pronto! Conseguimos separar as variáveis e .

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar os dois lados da equação. A gente integra do lado esquerdo e do lado direito:
Integrando, a gente tem:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para deixar a solução mais arrumadinha, podemos multiplicar toda a equação por 6 (o mínimo múltiplo de 2 e 3) para eliminar os denominadores:
Como ainda é uma constante, podemos simplificar e escrever:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A equação é separável, e sua solução geral é:
onde é uma constante arbitrária.

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