Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisamos descobrir se ela é separável. Se for, a gente vai resolver encontrando a solução geral. Para isso, vamos precisar entender o que são equações separáveis e como aplicar essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação separável. Uma equação diferencial é separável quando dá para escrever na forma
, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da igualdade. Isso facilita a resolução porque a gente pode integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Olha só a nossa equação:
. Podemos reescrever
como
, então temos:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Pronto! Conseguimos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar os dois lados da equação. A gente integra
do lado esquerdo e
do lado direito:
Integrando, a gente tem:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para deixar a solução mais arrumadinha, podemos multiplicar toda a equação por 6 (o mínimo múltiplo de 2 e 3) para eliminar os denominadores:
Como
ainda é uma constante, podemos simplificar e escrever:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A equação
é separável, e sua solução geral é:
onde
é uma constante arbitrária.