Verifique que
e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Conclua que
é a solução geral dessa equação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
E queremos verificar se as funções
e
são soluções dessa equação. Depois, vamos concluir que a solução geral é uma combinação dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação diferencial.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é uma solução da equação diferencial.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
:
Agora, a segunda derivada:
Substituímos
e
na equação diferencial:
Como a igualdade se mantém,
é de fato uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também é uma solução.
Calculamos a primeira derivada de
:
E a segunda derivada:
Substituímos
e
na equação diferencial:
Novamente, a igualdade se mantém, então
também é uma solução da equação.
Passo 4
Como temos duas soluções distintas
e
para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, a solução geral pode ser expressa como uma combinação linear dessas soluções. Isso significa que qualquer solução da equação pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes arbitárias que serão determinadas por condições iniciais específicas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: