Verifique que y1(t) = t^2 e y2(t) = t^(-1) são duas soluções da equação diferencial y'' - 2/t^2 y = 0 para t > 0. Conclua que y(t) = c1 * t^2 + c2 * t^(-1) é a solução geral dessa equação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
E queremos verificar se as funções e são soluções dessa equação. Depois, vamos concluir que a solução geral é uma combinação dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação diferencial.

Passo 2

Vamos começar verificando se é uma solução da equação diferencial.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:
Substituímos e na equação diferencial:
Como a igualdade se mantém, é de fato uma solução da equação.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução.
Calculamos a primeira derivada de :
E a segunda derivada:
Substituímos e na equação diferencial:
Novamente, a igualdade se mantém, então também é uma solução da equação.

Passo 4

Como temos duas soluções distintas e para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, a solução geral pode ser expressa como uma combinação linear dessas soluções. Isso significa que qualquer solução da equação pode ser escrita como:
Onde e são constantes arbitárias que serão determinadas por condições iniciais específicas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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