Determine:
As componentes contravariantes do vetor polar absoluto W^i em(x, y), conhecidas as suas componentes físicas covariantes W(i^prime)=[1-1] no ponto (u, v)=(1,1) [5.0 val.]

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar as componentes contravariantes do vetor polar absoluto nas coordenadas . Sabemos que as componentes físicas covariantes são no ponto . Para resolver isso, vamos usar a relação entre componentes covariantes e contravariantes, que envolve a métrica do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as componentes contravariantes W^i = g^ij Wj podem ser encontradas utilizando a métrica e as componentes covariantes . A relação é dada por:
Isso significa que precisamos conhecer a matriz métrica inversa no ponto considerado.

Passo 3

A métrica gij = 1 & 0 0 & 1 relaciona as diferentes coordenadas do espaço. Como estamos trabalhando no ponto , precisamos calcular ou conhecer a métrica nesse ponto específico. Supondo que estamos em um espaço euclidiano plano, a métrica pode ser representada pela matriz identidade:
A métrica inversa também será a matriz identidade nesse caso.

Passo 4

Com a métrica inversa 1 & 0 0 & 1 , podemos agora multiplicar pela matriz das componentes covariantes 1 -1 :
W^i = g^ij Wj = 1 & 0 0 & 1 1 -1 = 1 times 1 + 0 times (-1) 0 times 1 + 1 times (-1) = 1 -1

Resposta

As componentes contravariantes do vetor polar absoluto no ponto são .

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