Determine:
As componentes contravariantes do vetor polar absoluto
, conhecidas as suas componentes físicas covariantes
no ponto
val.]
As componentes contravariantes do vetor polar absoluto
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar as componentes contravariantes do vetor polar absoluto
nas coordenadas
. Sabemos que as componentes físicas covariantes são
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar a relação entre componentes covariantes e contravariantes, que envolve a métrica do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as componentes contravariantes
podem ser encontradas utilizando a métrica
e as componentes covariantes
. A relação é dada por:
Isso significa que precisamos conhecer a matriz métrica inversa
no ponto considerado.
Passo 3
A métrica
relaciona as diferentes coordenadas do espaço. Como estamos trabalhando no ponto
, precisamos calcular ou conhecer a métrica nesse ponto específico. Supondo que estamos em um espaço euclidiano plano, a métrica pode ser representada pela matriz identidade:
A métrica inversa
também será a matriz identidade nesse caso.
Passo 4
Com a métrica inversa
, podemos agora multiplicar pela matriz das componentes covariantes
:
Resposta
As componentes contravariantes do vetor polar absoluto
no ponto
são
.
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Todos os símbolos de Christoffel não nulos em (u, v). [2.0 Val.]
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