Determine:
Todos os símbolos de Christoffel não nulos em (u, v). [2.0 Val.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar todos os símbolos de Christoffel que não são zero nas coordenadas . Isso está relacionado à geometria diferenciável, onde os símbolos de Christoffel ajudam a entender como as coordenadas se curvam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular os símbolos de Christoffel a partir da métrica do espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que são os símbolos de Christoffel. Eles são usados para descrever como as direções nos eixos de coordenadas mudam de um ponto para outro no espaço. Essencialmente, eles nos dizem como “curvar” as derivadas para que elas façam sentido nesse espaço curvo.

Passo 3

Os símbolos de Christoffel Gamma^kij = 12 g^kl ( partial gjlpartial x^i + partial gilpartial x^j - partial gijpartial x^l ) são calculados a partir da métrica do espaço, que é representada por . A fórmula para calcular os símbolos de Christoffel é:
Aqui, são os componentes da métrica inversa.

Passo 4

No entanto, para determinar os símbolos de Christoffel específicos nas coordenadas gij = 1 & 0 0 & 1 , precisamos conhecer a métrica nesse sistema de coordenadas. Se não for fornecida uma métrica específica, geralmente assumimos que estamos lidando com um espaço plano (como o plano cartesiano), onde a métrica é simplesmente a identidade:

Passo 5

Com essa métrica, vamos calcular os símbolos de Christoffel. Primeiro, a métrica inversa g^ij = 1 & 0 0 & 1 também será:
Agora, calculamos os termos das derivadas parciais:
  • para todas as combinações, porque a métrica é constante.
  • O mesmo vale para e .

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula dos símbolos de Christoffel:
Gamma^kij = 12 g^kl (0 + 0 - 0) = 0

Resposta

Todos os símbolos de Christoffel em são nulos, ou seja, para todos os índices .

Exercícios relacionados