Determine os comprimentos das medianas do triângulo com vértices e . (A mediana é um segmento de reta de um vértice até o ponto médio do lado oposto.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os comprimentos das medianas de um triângulo com os vértices nas coordenadas , e . A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de ponto médio e distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de cada lado do triângulo. As medianas conectam um vértice ao ponto médio do lado oposto.
A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos e é:

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio do lado :
Aplicando a fórmula do ponto médio:

Passo 4

Agora, vamos calcular a mediana que sai do vértice até o ponto médio . Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Aplicando:

Passo 5

Vamos repetir o processo para o ponto médio do lado :
Ponto médio:
Agora, calcula a mediana do vértice até :

Passo 6

Por fim, encontramos o ponto médio do lado :
Ponto médio:
Calcula a mediana do vértice até :

Resposta

Os comprimentos das medianas do triângulo são aproximadamente:
  • Mediana de a : 6.80 unidades
  • Mediana de a : 5.22 unidades
  • Mediana de a : 6.08 unidades

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