Mostre que e são vértices de um retângulo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no plano: , , e . A questão quer que a gente comprove que esses pontos formam um retângulo. Para isso, vamos precisar usar geometria analítica, especialmente fórmulas de distância e verificação de perpendicularidade entre segmentos.

Passo 2

Vamos começar calculando as distâncias entre os pontos para identificar os lados do quadrilátero. A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Calculando as distâncias:
  • AB: entre e
  • BC: entre e
  • CD: entre e
  • DA: entre e
Perceba que os lados opostos AB e CD têm a mesma distância ( ), e BC e DA também têm a mesma distância ( ). Isso já sugere que é um paralelogramo.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os ângulos são retos, ou seja, se os lados se encontram de forma perpendicular. Para isso, usamos a inclinação das retas. A inclinação (slope) entre dois pontos e é dada por:
Calculando as inclinações:
  • m_AB: entre e
  • m_BC: entre e
Para duas retas serem perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser -1. Vamos verificar:
Como o produto das inclinações é -1, os lados AB e BC são perpendiculares. Isso indica que o ângulo em B é reto.
Agora, vamos verificar os outros ângulos para confirmar que todos são retos.
  • m_CD: entre e
  • m_DA: entre e
Verificando o produto:
Novamente, o produto é -1, então os lados CD e DA são perpendiculares, confirmando que o ângulo em D é reto.

Resposta

Assim, verificamos que os quatro lados formam pares de lados opostos iguais e que todos os ângulos são retos. Portanto, os pontos , , e são vértices de um retângulo.

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Determine os comprimentos das medianas do triângulo com vértices e . (A mediana é um segmento de reta de um vértice até o ponto médio do lado oposto.)
Coloque os numeros em ordem decrescente: .
Desenhe uma reta numérica e represente os números inteiros localizando os seguintes pontos: , de abscissa 1 .
Passa pelo ponto , inclinação 6