Mostre que
e
são vértices de um retângulo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no plano:
,
,
e
. A questão quer que a gente comprove que esses pontos formam um retângulo. Para isso, vamos precisar usar geometria analítica, especialmente fórmulas de distância e verificação de perpendicularidade entre segmentos.
Passo 2
Vamos começar calculando as distâncias entre os pontos para identificar os lados do quadrilátero. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Calculando as distâncias:
- AB: entre
e
- BC: entre
e
- CD: entre
e
- DA: entre
e
Perceba que os lados opostos AB e CD têm a mesma distância (
), e BC e DA também têm a mesma distância (
). Isso já sugere que é um paralelogramo.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os ângulos são retos, ou seja, se os lados se encontram de forma perpendicular. Para isso, usamos a inclinação das retas. A inclinação (slope) entre dois pontos
e
é dada por:
Calculando as inclinações:
- m_AB: entre
e
- m_BC: entre
e
Para duas retas serem perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser -1. Vamos verificar:
Como o produto das inclinações é -1, os lados AB e BC são perpendiculares. Isso indica que o ângulo em B é reto.
Agora, vamos verificar os outros ângulos para confirmar que todos são retos.
- m_CD: entre
e
- m_DA: entre
e
Verificando o produto:
Novamente, o produto é -1, então os lados CD e DA são perpendiculares, confirmando que o ângulo em D é reto.
Resposta
Assim, verificamos que os quatro lados formam pares de lados opostos iguais e que todos os ângulos são retos. Portanto, os pontos
,
,
e
são vértices de um retângulo.
Exercícios relacionados
Determine os comprimentos das medianas do triângulo com vértices
e
. (A mediana é um segmento de reta de um vértice até o ponto médio do lado oposto.)
Coloque os numeros em ordem decrescente:
.
Desenhe uma reta numérica e represente os números inteiros localizando os seguintes pontos:
, de abscissa 1 .
Passa pelo ponto
, inclinação 6