Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas?
a) f(x)=x²-10x+9
b) f(x)= - 3x²+ 2x-1
c) f(x)= x²-6x
d) f(x)= - 2x²+1

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o conjunto imagem de quatro funções quadráticas. A matéria que vamos usar aqui é sobre funções quadráticas, que têm a forma geral $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Para encontrar o conjunto imagem dessas funções, precisamos descobrir todos os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir quando $ x $ varia sobre todos os números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática representa uma parábola. Dependendo do coeficiente $ a $:
  • Se $ a > 0 $, a parábola abre para cima e tem um mínimo.
  • Se $ a < 0 $, a parábola abre para baixo e tem um máximo.
O ponto mais baixo ou mais alto da parábola é chamado de vértice, e podemos encontrar suas coordenadas usando as fórmulas:
a é
a > 0 é
Vamos aplicar isso para cada uma das funções dadas.

Passo 3

a) $ f(x) = x^2 - 10x + 9 $

  1. Identificar os coeficientes:
    • $ a = 1 $ (positivo, abre para cima)
    • $ b = -10 $
    • $ c = 9 $
  2. Encontrar o vértice:
    f(x) = x^2 - 10x + 9 é
    a = 1
  3. Determinar o conjunto imagem:
    • Como abre para cima, o valor mínimo é b = -10 .
    • Portanto, o conjunto imagem é c = 9 .

b) $ f(x) = -3x^2 + 2x - 1 $

  1. Identificar os coeficientes:
    • $ a = -3 $ (negativo, abre para baixo)
    • $ b = 2 $
    • $ c = -1 $
  2. Encontrar o vértice:
    xvértice = --102 times 1 = 5 é
    f(5) = 9 - (-10)^24 times 1 = 9 - 1004 = 9 - 25 = -16
  3. Determinar o conjunto imagem:
    • Como abre para baixo, o valor máximo é -16.
    • Portanto, o conjunto imagem é $ ( -\infty, -\frac{2}{3} ] $.

c) $ f(x) = x^2 - 6x $

  1. Identificar os coeficientes:
    • $ a = 1 $ (positivo, abre para cima)
    • $ b = -6 $
    • $ c = 0 $
  2. Encontrar o vértice:
    [ -16, +infty )é
    f(x) = -3x^2 + 2x - 1
  3. Determinar o conjunto imagem:
    • Como abre para cima, o valor mínimo é a = -3 .
    • Portanto, o conjunto imagem é b = 2 .

d) $ f(x) = -2x^2 + 1 $

  1. Identificar os coeficientes:
    • $ a = -2 $ (negativo, abre para baixo)
    • $ b = 0 $ (não há termo linear)
    • $ c = 1 $
  2. Encontrar o vértice:
    c = -1 é
    xvértice = -22 times (-3) = 26 = 13
  3. Determinar o conjunto imagem:
    • Como abre para baixo, o valor máximo é f(13) = -1 - 2^24 times (-3) = -1 - 4-12 = -1 + 13 = -23 .
    • Portanto, o conjunto imagem é $ ( -\infty, 1 ] $.

Resposta

a) [ -16, +infty )
b) $ ( -\infty, -\frac{2}{3} ] $
c) ( -infty, -23 ]
d) $ ( -\infty, 1 ] $

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