Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas?
a) f(x)=x²-10x+9
b) f(x)= - 3x²+ 2x-1
c) f(x)= x²-6x
d) f(x)= - 2x²+1
a) f(x)=x²-10x+9
b) f(x)= - 3x²+ 2x-1
c) f(x)= x²-6x
d) f(x)= - 2x²+1
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o conjunto imagem de quatro funções quadráticas. A matéria que vamos usar aqui é sobre funções quadráticas, que têm a forma geral $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Para encontrar o conjunto imagem dessas funções, precisamos descobrir todos os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir quando $ x $ varia sobre todos os números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática representa uma parábola. Dependendo do coeficiente $ a $:
- Se $ a > 0 $, a parábola abre para cima e tem um mínimo.
- Se $ a < 0 $, a parábola abre para baixo e tem um máximo.
O ponto mais baixo ou mais alto da parábola é chamado de vértice, e podemos encontrar suas coordenadas usando as fórmulas:
Vamos aplicar isso para cada uma das funções dadas.
Passo 3
a) $ f(x) = x^2 - 10x + 9 $
-
Identificar os coeficientes:
- $ a = 1 $ (positivo, abre para cima)
- $ b = -10 $
- $ c = 9 $
-
Encontrar o vértice:
-
Determinar o conjunto imagem:
- Como abre para cima, o valor mínimo é
. - Portanto, o conjunto imagem é
.
- Como abre para cima, o valor mínimo é
b) $ f(x) = -3x^2 + 2x - 1 $
-
Identificar os coeficientes:
- $ a = -3 $ (negativo, abre para baixo)
- $ b = 2 $
- $ c = -1 $
-
Encontrar o vértice:
-
Determinar o conjunto imagem:
- Como abre para baixo, o valor máximo é
. - Portanto, o conjunto imagem é $ ( -\infty, -\frac{2}{3} ] $.
- Como abre para baixo, o valor máximo é
c) $ f(x) = x^2 - 6x $
-
Identificar os coeficientes:
- $ a = 1 $ (positivo, abre para cima)
- $ b = -6 $
- $ c = 0 $
-
Encontrar o vértice:
-
Determinar o conjunto imagem:
- Como abre para cima, o valor mínimo é
. - Portanto, o conjunto imagem é
.
- Como abre para cima, o valor mínimo é
d) $ f(x) = -2x^2 + 1 $
-
Identificar os coeficientes:
- $ a = -2 $ (negativo, abre para baixo)
- $ b = 0 $ (não há termo linear)
- $ c = 1 $
-
Encontrar o vértice:
-
Determinar o conjunto imagem:
- Como abre para baixo, o valor máximo é
. - Portanto, o conjunto imagem é $ ( -\infty, 1 ] $.
- Como abre para baixo, o valor máximo é
Resposta
a)
b) $ ( -\infty, -\frac{2}{3} ] $
c)
d) $ ( -\infty, 1 ] $