Determinar a area limitada pela curva y = 4x - x² e pelo eixo x.
opções de respostas
A=32/3 u.a
B= 25/3 u.a
C= 37/3 u.a
D= 41/3 u.a
opções de respostas
A=32/3 u.a
B= 25/3 u.a
C= 37/3 u.a
D= 41/3 u.a
Passo 1
Beleza, então temos que determinar a área limitada pela curva $ y = 4x - x^2 $ e pelo eixo $ x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a integração para calcular a área entre a curva e o eixo $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a curva $ y = 4x - x^2 $ intercepta o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação $ 4x - x^2 = 0 $, podemos fatorar:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Isso significa que a curva cruza o eixo $ x $ nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 4 $.
Passo 4
Agora que sabemos os limites de integração ($ a = 0 $ e $ b = 4 $), vamos configurar a integral definida para encontrar a área $ A $ entre a curva e o eixo $ x $:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de $ 0 $ a $ 4 $:
Para $ x = 4 $:
Para $ x = 0 $:
Resposta
A área limitada pela curva $ y = 4x - x^2 $ e pelo eixo $ x $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área. Portanto, a resposta correta é a opção A=32/3 u.a.