Determinar a area limitada pela curva y = 4x - x² e pelo eixo x.
opções de respostas
A=32/3 u.a
B= 25/3 u.a
C= 37/3 u.a
D= 41/3 u.a

Passo 1

Beleza, então temos que determinar a área limitada pela curva $ y = 4x - x^2 $ e pelo eixo $ x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a integração para calcular a área entre a curva e o eixo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a curva $ y = 4x - x^2 $ intercepta o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
y = 4x - x^2

Passo 3

Resolvendo a equação $ 4x - x^2 = 0 $, podemos fatorar:
4x - x^2 = 0
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Isso significa que a curva cruza o eixo $ x $ nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 4 $.

Passo 4

Agora que sabemos os limites de integração ($ a = 0 $ e $ b = 4 $), vamos configurar a integral definida para encontrar a área $ A $ entre a curva e o eixo $ x $:
a = 0

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
integral 4x , dx = 2x^2
integral x^2 , dx = x^33
Então, a integral fica:
A = [ 2x^2 - x^33 ]0^4

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de $ 0 $ a $ 4 $:
Para $ x = 4 $:
0
Para $ x = 0 $:
4

Resposta

A área limitada pela curva $ y = 4x - x^2 $ e pelo eixo $ x $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área. Portanto, a resposta correta é a opção A=32/3 u.a.

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