Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta que nos ajuda a decidir isso analisando uma integral relacionada à série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma série da forma
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso,
. Vamos verificar se essa função atende aos critérios:
- Positiva: Para
, , e são positivos, então é positiva. - Contínua: A função é contínua para
. - Decrescente: À medida que
aumenta, diminui porque os denominadores aumentam.
Como todos os critérios são atendidos, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral correspondente à nossa série:
Essa integral vai nos ajudar a determinar a convergência ou divergência da série.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral, temos:
Agora, a integral está mais simples e em termos de
.
Passo 5
Vamos fazer outra substituição para resolver essa nova integral. Definimos:
Substituindo novamente, a integral se transforma em:
Agora, temos uma integral ainda mais simples de resolver.
Passo 6
A integral
é bem conhecida e resulta em:
Voltando às nossas substituições anteriores:
Mas o que realmente importa para determinar a convergência é o comportamento da integral quando
tende ao infinito.
Quando
,
também tende ao infinito, e
tende ao infinito. Portanto, a integral:
tende ao infinito, ou seja, ela diverge.
Resposta
A série diverge.
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Coloque os números em ordem crescente:
.
Qual a distância do número dado até a origem (0)? -10 .
Coloque os numeros em ordem decrescente:
.
Utilizando o teste da comparação, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.