Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
sumn=3^infty 1n ln n ln (ln n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta que nos ajuda a decidir isso analisando uma integral relacionada à série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma série da forma , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, . Vamos verificar se essa função atende aos critérios:
  1. Positiva: Para , , e são positivos, então é positiva.
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: À medida que aumenta, diminui porque os denominadores aumentam.
Como todos os critérios são atendidos, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral correspondente à nossa série:
integral3^infty 1x ln x ln (ln x) , dx
Essa integral vai nos ajudar a determinar a convergência ou divergência da série.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
t = ln x Rightarrow dt = 1x dx
Substituindo na integral, temos:
integral 1x ln x ln (ln x) , dx = integral 1t ln t , dt
Agora, a integral está mais simples e em termos de .

Passo 5

Vamos fazer outra substituição para resolver essa nova integral. Definimos:
u = ln t Rightarrow du = 1t dt
Substituindo novamente, a integral se transforma em:
integral 1t ln t , dt = integral 1u , du
Agora, temos uma integral ainda mais simples de resolver.

Passo 6

A integral ln |u| + C é bem conhecida e resulta em:
ln u = ln (ln t) = ln (ln (ln x))
Voltando às nossas substituições anteriores:
integral3^infty 1x ln x ln (ln x) , dx
Mas o que realmente importa para determinar a convergência é o comportamento da integral quando tende ao infinito.
Quando , também tende ao infinito, e tende ao infinito. Portanto, a integral:
tende ao infinito, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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