Utilizando o teste da comparação, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge utilizando o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série em questão com outra série conhecida para inferir o comportamento da primeira.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a função coth. A função hiperbólica coth(n) é definida como:
À medida que n cresce, e^{-n} tende a zero, então coth(n) se aproxima de 1:
Isso significa que, para valores grandes de n, podemos aproximar coth(n) por 1.
Passo 3
Agora, observe que nosso termo geral da série é:
Como vimos, para grandes valores de n, coth(n) é aproximadamente 1. Portanto, podemos comparar nossa série com a série:
Passo 4
A série
é conhecida como uma série p com p = 2. Sabemos que as séries p convergem se p > 1. Portanto, essa série específica converge.
Passo 5
Agora, aplicando o teste da comparação, comparamos nosso termo geral com
. Como:
Então:
No entanto, isso não nos ajuda diretamente, já que a série comparada
converge. Precisamos verificar o limite do quociente dos termos:
Passo 6
Como o limite do quociente é um número finito positivo (neste caso, 1), e a série comparada
converge, pelo teste da comparação limite, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Coloque os numeros em ordem decrescente:
.
Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.