Utilizando o teste da comparação, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty coth nn^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty coth nn^2
O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge utilizando o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série em questão com outra série conhecida para inferir o comportamento da primeira.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a função coth. A função hiperbólica coth(n) é definida como:
coth n = e^n + e^-ne^n - e^-n
À medida que n cresce, e^{-n} tende a zero, então coth(n) se aproxima de 1:
limn to infty coth n = 1
Isso significa que, para valores grandes de n, podemos aproximar coth(n) por 1.

Passo 3

Agora, observe que nosso termo geral da série é:
coth nn^2
Como vimos, para grandes valores de n, coth(n) é aproximadamente 1. Portanto, podemos comparar nossa série com a série:
sumn=1^infty 1n^2

Passo 4

A série é conhecida como uma série p com p = 2. Sabemos que as séries p convergem se p > 1. Portanto, essa série específica converge.

Passo 5

Agora, aplicando o teste da comparação, comparamos nosso termo geral com coth n > 1 para todo n >= 1 . Como:
coth nn^2 > 1n^2
Então:
limn to infty coth nn^21n^2 = limn to infty coth n = 1
No entanto, isso não nos ajuda diretamente, já que a série comparada converge. Precisamos verificar o limite do quociente dos termos:

Passo 6

Como o limite do quociente é um número finito positivo (neste caso, 1), e a série comparada converge, pelo teste da comparação limite, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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