Determine a derivada da função abaixo e assinale a alternativa que corresponde o resultado. h(x) = 9x^3 - raizx + 1/x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente tem a função $ h(x) = 9x^3 - \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} $ e precisa achar a derivada dela. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a regra do poder para derivadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da função: $ 9x^3 $. A regra do poder diz que se a gente tem $ x^n $, a derivada é $ n \cdot x^{n-1} $. Então, aplicando isso:
9x^3

Passo 3

Agora, vamos para o segundo termo: $ -\sqrt{x} $. Sabemos que $ \sqrt{x} $ é o mesmo que $ x^{1/2} $. Usando a regra do poder:
-raizx
E lembrando que $ x^{-1/2} $ é o mesmo que $ \frac{1}{\sqrt{x}} $, então:
raizx

Passo 4

Por último, vamos derivar o terceiro termo: $ \frac{1}{x^2} $. Isso pode ser escrito como $ x^{-2} $. Aplicando a regra do poder:
1x^2
E $ x^{-3} $ é igual a $ \frac{1}{x^3} $, então:
x^-2

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas que encontramos:
h'(x) = 27x^2 - 12raizx - 2x^3

Resposta

A derivada da função é $ h’(x) = 27x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3} $.

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