Determine o determinante da seguinte matriz:  | x   2   1 | | 3  -1   x |        ?| 0   2   1 |

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 3x3. Determinantes são números que a gente calcula a partir de matrizes e que têm várias aplicações, como resolver sistemas de equações ou encontrar áreas e volumes. Para resolver isso, vamos usar a regra de Sarrus, que é uma maneira bem prática para matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente tem:
x & 2 & 1 3 & -1 & x 0 & 2 & 1
A regra de Sarrus diz que a gente deve multiplicar os elementos das diagonais principais e depois subtrair os produtos das diagonais secundárias.

Passo 3

Vamos duplicar as duas primeiras colunas da matriz para facilitar a visualização das diagonais:
ccc|cc x & 2 & 1 & x & 2 3 & -1 & x & 3 & -1 0 & 2 & 1 & 0 & 2

Passo 4

Agora, identificamos as diagonais principais (da esquerda para a direita) e multiplicamos os elementos de cada uma:
  1. Primeira diagonal: x times (-1) times 1 = -x
  2. Segunda diagonal: 2 times x times 0 = 0
  3. Terceira diagonal: 1 times 3 times 2 = 6
Somando esses valores: -x + 0 + 6 = 6 - x

Passo 5

Em seguida, fazemos o mesmo para as diagonais secundárias (da direita para a esquerda):
  1. Primeira diagonal: 1 times (-1) times 0 = 0
  2. Segunda diagonal: 2 times 3 times 1 = 6
  3. Terceira diagonal: x times x times 2 = 2x^2
Somando esses valores: 0 + 6 + 2x^2 = 6 + 2x^2

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra de Sarrus: subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais.
Determinante = (6 - x) - (6 + 2x^2) = 6 - x - 6 - 2x^2 = -x - 2x^2

Resposta

O determinante da matriz é -2x^2 - x.

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