Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão: S = {(x, y, z) Є R³: x - y + 2z = 0}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma base e a dimensão do espaço vetorial $ S $, que é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação $ x - y + 2z = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esse espaço $ S $. Ele é formado por todos os pontos
que estão em
e que fazem a equação $ x - y + 2z = 0 $ valer. Essa equação representa um plano no espaço tridimensional, então $ S $ é um plano que passa pela origem.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base para $ S $, precisamos encontrar vetores que gerem esse espaço e que sejam lineares e independentemente. Para isso, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos escolher $ y $ e $ z $ como parâmetros livres.
A equação $ x - y + 2z = 0 $ pode ser rearranjada para $ x = y - 2z $. Assim, podemos escrever qualquer vetor em $ S $ como:
Isso pode ser separado em:
Então, os vetores
e
são candidatos a formar uma base para $ S $.
Passo 4
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se nenhum deles puder ser escrito como múltiplo do outro, então eles são independentes. Olhando para
e
, não há um número real que multiplique um para dar o outro, então eles são lineares e independentes.
Passo 5
Como encontramos dois vetores que geram $ S $ e são linearmente independentes, isso significa que a base de $ S $ é formada por esses dois vetores. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base, então neste caso, a dimensão de $ S $ é 2.
Resposta
Uma base para $ S $ é
e a dimensão de $ S $ é 2.