Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão: S = {(x, y, z) Є R³: x - y + 2z = 0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma base e a dimensão do espaço vetorial $ S $, que é definido por todos os vetores S em (x, y, z) que satisfazem a equação $ x - y + 2z = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é esse espaço $ S $. Ele é formado por todos os pontos S que estão em (x, y, z) e que fazem a equação $ x - y + 2z = 0 $ valer. Essa equação representa um plano no espaço tridimensional, então $ S $ é um plano que passa pela origem.

Passo 3

Agora, para encontrar uma base para $ S $, precisamos encontrar vetores que gerem esse espaço e que sejam lineares e independentemente. Para isso, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos escolher $ y $ e $ z $ como parâmetros livres.
A equação $ x - y + 2z = 0 $ pode ser rearranjada para $ x = y - 2z $. Assim, podemos escrever qualquer vetor em $ S $ como:
S
Isso pode ser separado em:
y
Então, os vetores z e x - y + 2z = 0 são candidatos a formar uma base para $ S $.

Passo 4

Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se nenhum deles puder ser escrito como múltiplo do outro, então eles são independentes. Olhando para (1, 1, 0) e (-2, 0, 1), não há um número real que multiplique um para dar o outro, então eles são lineares e independentes.

Passo 5

Como encontramos dois vetores que geram $ S $ e são linearmente independentes, isso significa que a base de $ S $ é formada por esses dois vetores. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base, então neste caso, a dimensão de $ S $ é 2.

Resposta

Uma base para $ S $ é S e a dimensão de $ S $ é 2.

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