Determine a diferencial das funções abaixo.
b) z = x * e^(x+y) - y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinarmos a diferencial da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente encontrando a diferencial de uma função de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferencial de uma função. Se temos uma função , a diferencial é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de com relação a e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dada a função:
A derivada de em relação a pode ser encontrada usando a regra do produto:
E a derivada de em relação a é zero, já que é uma variável independente de :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Para a mesma função:
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Portanto:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora montar a diferencial utilizando a fórmula que vimos no Passo 2:
Substituindo as derivadas parciais que encontramos:

Resposta

A diferencial da função é:

Exercícios relacionados