Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1,-3,4) e é paralelo os vetores V1=(3,1,-2) e V2= (1-1,1) Assinale a alternativa correta. A)–x-5y-4z+2=0 B)–x-5y-4z-2=0 C)–x-5y+4z+2=0 D)–x+5y-4z+2=0 E)+x-5y-4z+2=0

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(1, -3, 4) e é paralelo aos vetores V₁ = (3, 1, -2) e V₂ = (1, -1, 1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos entender como usar pontos e vetores para definir um plano.

Passo 2

Primeiro, lembre o que é a equação geral de um plano. Ela tem a forma:
ax + by + cz + d = 0
Onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano.

Passo 3

Como o plano é paralelo aos vetores V₁ e V₂, isso significa que o vetor normal ao plano deve ser perpendicular a esses vetores. Para encontrar um vetor normal, podemos usar o produto vetorial entre V₁ e V₂.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial $ V₁ \times V₂ $:
V₁ times V₂
V₁ = (3, 1, -2)
V₂ = (1, -1, 1)
V₁ times V₂ = i & j & k 3 & 1 & -2 1 & -1 & 1
= i(1 cdot 1 - (-2) cdot (-1)) - j(3 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k(3 cdot (-1) - 1 cdot 1)
= i(1 - 2) - j(3 + 2) + k(-3 - 1)
= -i - 5j - 4k

Passo 5

Agora que temos o vetor normal $ V_n = (-1, -5, -4) $, podemos usar a equação geral do plano com o ponto A(1, -3, 4):
Vn = (-1, -5, -4)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
-x + 1 - 5y - 15 - 4z + 16 = 0
-x - 5y - 4z + (1 - 15 + 16) = 0
-x - 5y - 4z + 2 = 0

Passo 7

A equação geral do plano é:
-x - 5y - 4z + 2 = 0
Agora, vamos verificar as alternativas para ver qual delas corresponde a essa equação.

Passo 8

Comparando com as opções:
A) –x -5y -4z +2 =0
B) –x -5y -4z -2 =0
C) –x -5y +4z +2 =0
D) –x +5y -4z +2 =0
E) +x -5y -4z +2 =0
A que corresponde é a alternativa A.

Resposta

A alternativa correta é a A) –x -5y -4z +2 =0.

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