Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1,-3,4) e é paralelo os vetores V1=(3,1,-2) e V2= (1-1,1) Assinale a alternativa correta. A)–x-5y-4z+2=0 B)–x-5y-4z-2=0 C)–x-5y+4z+2=0 D)–x+5y-4z+2=0 E)+x-5y-4z+2=0
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(1, -3, 4) e é paralelo aos vetores V₁ = (3, 1, -2) e V₂ = (1, -1, 1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos entender como usar pontos e vetores para definir um plano.
Passo 2
Primeiro, lembre o que é a equação geral de um plano. Ela tem a forma:
Onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano.
Passo 3
Como o plano é paralelo aos vetores V₁ e V₂, isso significa que o vetor normal ao plano deve ser perpendicular a esses vetores. Para encontrar um vetor normal, podemos usar o produto vetorial entre V₁ e V₂.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial $ V₁ \times V₂ $:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal $ V_n = (-1, -5, -4) $, podemos usar a equação geral do plano com o ponto A(1, -3, 4):
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Passo 7
A equação geral do plano é:
Agora, vamos verificar as alternativas para ver qual delas corresponde a essa equação.
Passo 8
Comparando com as opções:
A) –x -5y -4z +2 =0
B) –x -5y -4z -2 =0
C) –x -5y +4z +2 =0
D) –x +5y -4z +2 =0
E) +x -5y -4z +2 =0
B) –x -5y -4z -2 =0
C) –x -5y +4z +2 =0
D) –x +5y -4z +2 =0
E) +x -5y -4z +2 =0
A que corresponde é a alternativa A.
Resposta
A alternativa correta é a A) –x -5y -4z +2 =0.