Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre as retas r:x-4/2=y/2=z-1/1 e s:x=2λ y=1-λ z=-2+λ, λ real .
(Ref.: 202012182053)
coincidentes
reversas
coincidentes e ortogonais
concorrentes e não ortogonais
paralelas

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações paramétricas. O objetivo é determinar a posição relativa entre elas, ou seja, se são coincidentes, paralelas, concorrentes (intersectam-se) ou reversas (não são paralelas e não se intersectam). Para resolver isso, vamos precisar comparar os vetores diretores das retas e verificar se elas possuem um ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma paramétrica.
Para a reta r:
x - 42 = y2 = z - 11 = t
Isso nos dá as equações paramétricas:
x = 2t + 4 y = 2t z = t + 1
Para a reta s:
x = 2lambda y = 1 - lambda z = -2 + lambda

Passo 3

Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta.
Para a reta r, o vetor diretor é vr = (2, 2, 1).
Para a reta s, o vetor diretor é vs = (2, -1, 1).

Passo 4

Vamos verificar se as retas são paralelas comparando os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo escalar do outro, as retas são paralelas.
Comparando os componentes:
22 = 1 2-1 = -2 11 = 1
Como os resultados não são iguais, os vetores não são múltiplos escalares. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, podemos verificar se elas se intersectam, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Vamos igualar as equações paramétricas:
2t + 4 = 2lambda (1) 2t = 1 - lambda (2) t + 1 = -2 + lambda (3)
Da equação (1):
2t + 4 = 2lambda Rightarrow lambda = t + 2
Substituindo lambda = t + 2 na equação (2):
2t = 1 - (t + 2) Rightarrow 2t = -t -1 Rightarrow 3t = -1 Rightarrow t = -13
Substituindo t = -13 na equação (3):
-13 + 1 = -2 + lambda Rightarrow 23 = -2 + lambda Rightarrow lambda = 83
Agora, verificamos se os valores encontrados satisfazem todas as equações. Ao substituir t = -13 e lambda = 83 na equação (1):
2 (-13) + 4 = 2 times 83 Rightarrow -23 + 4 = 163 Rightarrow 103 = 163
Isso não é verdade, então não existe um ponto comum entre as retas.

Resposta

As retas são reversas.

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