Determine a equação da reta tangente em sendo dados
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função no ponto onde . Para isso, vamos usar alguns conceitos de derivadas e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto de tangência, ou seja, . Substituindo na função , temos:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. A derivada de é:
Essa fórmula vem da regra de derivação para potências fracionárias, onde .

Passo 4

Com a derivada , podemos calcular a inclinação da tangente em :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Por fim, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
  • é a inclinação da reta ( )
  • é o ponto de tangência ( )
Substituindo os valores:
Se preferir, podemos deixar a equação na forma reduzida:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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