(1,0) Determine e esboce a saída do sistema se a entrada é dada por x[n]=(14)^n u[n].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos e esboçarmos a saída de um sistema quando a entrada é dada por . Aqui estamos lidando com Sistemas em Tempo Discreto e usando a Transformada Z. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada Z na entrada e relacionar com a saída do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função degrau unitário, que vale 1 para e 0 caso contrário. Então, significa que nossa entrada é uma sequência exponencial decrescente a partir de .

Passo 3

Para encontrar a saída do sistema, precisamos conhecer a resposta do sistema ao . Assumindo que o sistema é linear e invariante no tempo (ainda que o enunciado não especifique, essa é uma suposição comum), podemos usar a Transformada Z para facilitar os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular a Transformada Z de X(z) = 11 - a z^-1 . A Transformada Z de uma sequência X(z) = 11 - (14) z^-1 é dada por:
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, precisamos da função de transferência do sistema H(z) = z - 1z . Como o enunciado menciona “(1,0)”, isso sugere que o sistema tem um zero em e um polo em , então a função de transferência é:

Passo 6

A saída do sistema na Transformada Z é dada por:
Y(z) = H(z) cdot X(z) = z - 1z cdot 11 - (14) z^-1
Simplificando:
Y(z) = z - 1z - 14

Passo 7

Para encontrar Y(z) = 1 - 34 z^-1 , fazemos a Transformada Z inversa. Observando a expressão, vemos que ela se decompõe em termos mais simples que correspondem a sequências conhecidas.
y[n] = de
Aplicando a Transformada Z inversa:

Resposta

A saída do sistema é:
y[n] = de

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