(1,0) Determine e esboce a saída do sistema se a entrada é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos e esboçarmos a saída de um sistema quando a entrada é dada por
. Aqui estamos lidando com Sistemas em Tempo Discreto e usando a Transformada Z. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada Z na entrada e relacionar com a saída do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função degrau unitário, que vale 1 para
e 0 caso contrário. Então,
significa que nossa entrada é uma sequência exponencial decrescente a partir de
.
Passo 3
Para encontrar a saída do sistema, precisamos conhecer a resposta do sistema ao
. Assumindo que o sistema é linear e invariante no tempo (ainda que o enunciado não especifique, essa é uma suposição comum), podemos usar a Transformada Z para facilitar os cálculos.
Passo 4
Vamos calcular a Transformada Z de
. A Transformada Z de uma sequência
é dada por:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, precisamos da função de transferência do sistema
. Como o enunciado menciona “(1,0)”, isso sugere que o sistema tem um zero em
e um polo em
, então a função de transferência é:
Passo 6
A saída do sistema na Transformada Z é dada por:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
, fazemos a Transformada Z inversa. Observando a expressão, vemos que ela se decompõe em termos mais simples que correspondem a sequências conhecidas.
Aplicando a Transformada Z inversa:
Resposta
A saída do sistema é: