Para cada par de especificações de sistemas de segunda-ordem a seguir, determine a localização do par de pólos de segunda ordem.
Ts=7 s, Tp=3 s

Passo 1

Então, vamos por partes! O exercício pede para a gente encontrar onde estão os pólos de um sistema de segunda ordem, dado que o tempo de assentamento ( Ts) é 7 segundos e o tempo de pico ( Tp) é 3 segundos. Isso está relacionado à matéria de Sistemas de Controle, mais especificamente aos sistemas de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam Ts e Tp com o coeficiente de amortecimento ( zeta) e a frequência natural ( omegan).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que ligam Ts e Tp com zeta e omegan:
Ts = 4zeta omegan
Tp = piomegan raiz1 - zeta^2
Essas fórmulas nos ajudam a estabelecer duas equações para resolvermos zeta e omegan.

Passo 3

Vamos usar a primeira fórmula para expressar omegan em termos de zeta:
omegan = 4zeta Ts
Substituindo Ts = 7 s:
omegan = 47 zeta

Passo 4

Agora, vamos substituir omegan na segunda fórmula usando a expressão que encontramos:
Tp = pi(47 zeta) raiz1 - zeta^2 = 7 pi zeta4 raiz1 - zeta^2
Sabemos que Tp = 3 s, então:
3 = 7 pi zeta4 raiz1 - zeta^2

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar zeta. Primeiro, isolamos os termos com zeta:
raiz1 - zeta^2 = 7 pi zeta12
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - zeta^2 = (7 pi zeta12)^2
1 - zeta^2 = 49 pi^2 zeta^2144

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos com zeta^2:
1 = zeta^2 (1 + 49 pi^2144)
zeta^2 = 11 + 49 pi^2144
zeta^2 = 144144 + 49 pi^2
Calculando o valor numérico:
zeta^2 approx 144144 + 49 times 9.8696 approx 144144 + 483.131 approx 144627.131 approx 0.2295
zeta approx raiz0.2295 approx 0.479

Passo 7

Com o valor de zeta, podemos encontrar omegan usando a expressão que derivamos:
omegan = 47 times 0.479 approx 43.353 approx 1.193 , rad/s

Passo 8

Agora que temos zeta e omegan, vamos encontrar os pólos do sistema. Os pólos são dados por:
s = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1
Mas como zeta < 1, os pólos serão complexos:
s = -zeta omegan pm j omegan raiz1 - zeta^2
Substituindo os valores:
s = -0.479 times 1.193 pm j times 1.193 times raiz1 - 0.479^2
s approx -0.571 pm j times 1.193 times raiz0.769 approx -0.571 pm j times 1.193 times 0.877 approx -0.571 pm j times 1.046

Resposta

Os pólos de segunda ordem estão localizados no plano complexo em s approx -0.571 pm j,1.046.

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