Para cada par de especificações de sistemas de segunda-ordem a seguir, determine a localização do par de pólos de segunda ordem.
Passo 1
Então, vamos por partes! O exercício pede para a gente encontrar onde estão os pólos de um sistema de segunda ordem, dado que o tempo de assentamento (
) é 7 segundos e o tempo de pico (
) é 3 segundos. Isso está relacionado à matéria de Sistemas de Controle, mais especificamente aos sistemas de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam
e
com o coeficiente de amortecimento (
) e a frequência natural (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que ligam
e
com
e
:
Essas fórmulas nos ajudam a estabelecer duas equações para resolvermos
e
.
Passo 3
Vamos usar a primeira fórmula para expressar
em termos de
:
Substituindo
s:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na segunda fórmula usando a expressão que encontramos:
Sabemos que
s, então:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, isolamos os termos com
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, vamos reunir os termos com
:
Calculando o valor numérico:
Passo 7
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a expressão que derivamos:
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos encontrar os pólos do sistema. Os pólos são dados por:
Mas como
, os pólos serão complexos:
Substituindo os valores:
Resposta
Os pólos de segunda ordem estão localizados no plano complexo em
.