Para cada par de especificações de sistemas de segunda-ordem a seguir, determine a localização do par de pólos de segunda ordem.
Mp(%)=17 %, Ts=0.5 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá duas especificações de um sistema de segunda ordem: a sobreposição máxima e o tempo de assentamento segundos. Nosso objetivo é encontrar a localização dos polos desse sistema. Para isso, vamos usar alguns conceitos de sistemas de controle, como o fator de amortecimento ( ) e a frequência natural ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a sobreposição máxima Mp = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100% com o fator de amortecimento . A fórmula que conecta esses dois é:
Queremos encontrar que satisfaz essa equação para .

Passo 3

Vamos isolar 0,17 = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) na equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100%:
ln(0,17) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para eliminar a exponencial:
-1,771
Calculando -1,771 = -pi zetaraiz1 - zeta^2 :
1,771 = pi zetaraiz1 - zeta^2
Então temos:
Simplificando os sinais:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 1,771 raiz1 - zeta^2 = pi zeta . Multiplicamos ambos os lados por (1,771)^2 (1 - zeta^2) = (pi zeta)^2 :
3,316 times (1 - zeta^2) = 9,870 zeta^2
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
3,316 - 3,316 zeta^2 = 9,870 zeta^2
Calculando os quadrados:
Distribuindo o 3,316:

Passo 5

Vamos juntar os termos com 3,316 = 9,870 zeta^2 + 3,316 zeta^2 :
3,316 = 13,186 zeta^2
Somando os coeficientes:
zeta^2 = 3,31613,186 approx 0,251
Finalmente, isolamos zeta approx raiz0,251 approx 0,501 :
Então, tirando a raiz quadrada:

Passo 6

Agora que temos Ts = 4zeta omegan , vamos usar o tempo de assentamento 0,5 = 40,501 omegan s para encontrar a frequência natural omegan = 40,501 times 0,5 = 40,2505 approx 15,95 , rad/s . A fórmula para o tempo de assentamento é:
Substituindo os valores:
Resolvendo para :

Passo 7

Com s = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1 e s = -zeta omegan pm j omegan raiz1 - zeta^2 rad/s, podemos encontrar os polos do sistema. Os polos de um sistema de segunda ordem são dados por:
s = -0,501 times 15,95 pm j times 15,95 times raiz1 - 0,501^2
Como s approx -7,995 pm j times 15,95 times raiz1 - 0,251 approx -7,995 pm j times 15,95 times 0,866 approx -7,995 pm j times 13,80 , os polos serão complexos conjugados:
Substituindo os valores:
Calculando:

Resposta

Os polos do sistema estão localizados em rad/s.

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