Para cada par de especificações de sistemas de segunda-ordem a seguir, determine a localização do par de pólos de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá duas especificações de um sistema de segunda ordem: a sobreposição máxima
e o tempo de assentamento
segundos. Nosso objetivo é encontrar a localização dos polos desse sistema. Para isso, vamos usar alguns conceitos de sistemas de controle, como o fator de amortecimento (
) e a frequência natural (
).
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a sobreposição máxima
com o fator de amortecimento
. A fórmula que conecta esses dois é:
Queremos encontrar
que satisfaz essa equação para
.
Passo 3
Vamos isolar
na equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100%:
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para eliminar a exponencial:
Calculando
:
Então temos:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando os quadrados:
Distribuindo o 3,316:
Passo 5
Vamos juntar os termos com
:
Somando os coeficientes:
Finalmente, isolamos
:
Então, tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora que temos
, vamos usar o tempo de assentamento
s para encontrar a frequência natural
. A fórmula para o tempo de assentamento é:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
e
rad/s, podemos encontrar os polos do sistema. Os polos de um sistema de segunda ordem são dados por:
Como
, os polos serão complexos conjugados:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
Os polos do sistema estão localizados em
rad/s.