(a) Determine o espaço amostral do experimento, isto é, o conjunto
formado por todas as possíveis saídas do experimento. Quantos elementos tem o conjunto
?
Para esse experimento, defina as seguintes variáveis aleatórias:
menor número entre os dois lançamentos.
maior número entre os dois lançamentos.
(b) Determine a imagem do vetor aleatório
.
Para esse experimento, defina as seguintes variáveis aleatórias:
(b) Determine a imagem do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve probabilidade e variáveis aleatórias. No item (a), precisamos descobrir o espaço amostral (Ω), que é o conjunto de todas as possíveis saídas do experimento, e contar quantos elementos ele tem. Também vamos definir duas variáveis aleatórias: $ X $, que é o menor número entre os dois lançamentos, e $ Y $, que é o maior número entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o experimento. Imagina que estamos jogando um dado duas vezes. Cada lançamento pode resultar em um número de 1 a 6. Então, cada saída do experimento é um par ordenado, tipo $ (a, b) $, onde $ a $ é o resultado do primeiro lançamento e $ b $ é o do segundo.
Passo 3
Agora, para formar o espaço amostral Ω, listamos todas as combinações possíveis de $ a $ e $ b $. Como cada um pode ser de 1 a 6, temos:
Passo 4
Para contar quantos elementos tem Ω, observamos que para cada valor de $ a $ (6 possibilidades), há 6 opções de $ b $. Então, multiplicando:
Portanto, Ω tem 36 elementos.
Passo 5
Agora, vamos para a definição das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $.
- $ X $ é o menor número entre os dois lançamentos. Por exemplo, se $ (3,5) $, então $ X = 3 $.
- $ Y $ é o maior número entre os dois lançamentos. Nesse mesmo exemplo, $ Y = 5 $.
Passo 6
No item (b), precisamos determinar a imagem do vetor aleatório $ (X, Y) $. Isso significa listar todos os pares $ (x, y) $ possíveis, onde $ x $ é o menor número e $ y $ é o maior.
Passo 7
Pense que $ x $ pode variar de 1 a 6, e para cada $ x $, $ y $ pode ser de $ x $ até 6 (já que $ y $ é sempre maior ou igual a $ x $). Então, a imagem é:
Resposta
(a) O espaço amostral Ω é o conjunto de todos os pares $ (a, b) $ onde $ a $ e $ b $ vão de 1 a 6. Ou seja,
E Ω tem 36 elementos.
(b) A imagem do vetor aleatório $ (X, Y) $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ onde $ 1 \leq x \leq y \leq 6 $. Portanto,