Encontre a densidade de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta $ f(x, y) $ e pede para encontrar a densidade condicional de $ Y $ dado $ X = x $. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente sobre distribuições conjuntas e condicionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da densidade condicional e entender como manipular funções de densidade conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a densidade condicional $ f_{Y|X}(y|x) $. Ela é dada por:
Aqui, $ f(x, y) $ é a densidade conjunta de $ X $ e $ Y $, e $ f_X(x) $ é a densidade marginal de $ X $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a densidade marginal $ f_X(x) $. Para isso, precisamos integrar a densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
Vamos fazer essa integração usando a função $ f(x, y) $ fornecida.
Passo 4
Substituindo $ f(x, y) $ na integral, temos:
Vamos simplificar o expoente para facilitar a integração. Observamos que $ x^2 - x y + y^2 $ pode ser reescrito completando o quadrado.
Passo 5
Vamos completar o quadrado no termo $ y^2 - x y + x^2 $:
Então, a expressão do expoente fica:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na integral:
A integral que sobra é a de uma função gaussiana padrão, cujo valor é $ \sqrt{2\pi} $.
Passo 7
Calculando a integral:
Então, substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos $ f_X(x) $, podemos voltar à fórmula da densidade condicional:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Simplificando os coeficientes:
Passo 10
Agora, vamos simplificar o expoente:
Simplificando:
No entanto, isso não simplifica de forma direta, então vamos reorganizar:
Isso ainda parece complicado, então vamos reconsiderar.
Na verdade, para simplificar o expoente, podemos voltar à expressão original e completar o quadrado de uma maneira diferente.
Passo 11
Vamos reescrever o expoente original:
Então, juntando com a exponencial do denominador:
Portanto, o expoente simplifica para:
Passo 12
Agora, colocamos tudo de volta na expressão da densidade condicional:
Resposta
A densidade condicional de $ Y $ dado $ X = x $ é: