f(x, y)=raiz34 pi exp -(x^2-x y+y^2) / 2, -infty
Encontre a densidade de Y mid X=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta $ f(x, y) $ e pede para encontrar a densidade condicional de $ Y $ dado $ X = x $. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente sobre distribuições conjuntas e condicionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da densidade condicional e entender como manipular funções de densidade conjuntas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a densidade condicional $ f_{Y|X}(y|x) $. Ela é dada por:
fY|X(y|x)
Aqui, $ f(x, y) $ é a densidade conjunta de $ X $ e $ Y $, e $ f_X(x) $ é a densidade marginal de $ X $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a densidade marginal $ f_X(x) $. Para isso, precisamos integrar a densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
fX(x)
Vamos fazer essa integração usando a função $ f(x, y) $ fornecida.

Passo 4

Substituindo $ f(x, y) $ na integral, temos:
f(x, y)
Vamos simplificar o expoente para facilitar a integração. Observamos que $ x^2 - x y + y^2 $ pode ser reescrito completando o quadrado.

Passo 5

Vamos completar o quadrado no termo $ y^2 - x y + x^2 $:
y^2 - x y + x^2
Então, a expressão do expoente fica:
y^2 - x y + x^2 = (y - x2)^2 + 3x^24

Passo 6

Agora, substituindo de volta na integral:
fX(x) = raiz34 pi exp(-3x^28) integral-infty^infty exp(-(y - x2)^22) dy
A integral que sobra é a de uma função gaussiana padrão, cujo valor é $ \sqrt{2\pi} $.

Passo 7

Calculando a integral:
integral-infty^infty exp(-(y - x2)^22) dy = raiz2pi
Então, substituímos de volta:
fX(x) = raiz34 pi exp(-3x^28) cdot raiz2pi = raiz3 cdot raiz2pi4 pi exp(-3x^28)
Simplificando:
fX(x) = raiz64 raizpi exp(-3x^28)

Passo 8

Agora que temos $ f_X(x) $, podemos voltar à fórmula da densidade condicional:
fX(x)

Passo 9

Simplificando a expressão:
fY|X(y|x) = raiz34 piraiz64 raizpi exp -x^2 - x y + y^22 + 3x^28
Simplificando os coeficientes:
raiz34 pi div raiz64 raizpi = raiz3raiz6 raizpi = 1raiz2 pi

Passo 10

Agora, vamos simplificar o expoente:
-x^2 - x y + y^22 + 3x^28 = -2(x^2 - x y + y^2)4 + 3x^28 = -2x^2 - 2x y + 2y^2 - 3x^28 = --x^2 - 2x y + 2y^28
Simplificando:
--x^2 - 2x y + 2y^28 = x^2 + 2x y - 2y^28
No entanto, isso não simplifica de forma direta, então vamos reorganizar:
-x^2 - x y + y^22 + 3x^28 = -x^2 - x y + y^22 + 3x^28 = -4x^2 - 4x y + 4y^28 + 3x^28 = -4x^2 + 4x y - 4y^2 + 3x^28 = -x^2 + 4x y - 4y^28
Isso ainda parece complicado, então vamos reconsiderar.
Na verdade, para simplificar o expoente, podemos voltar à expressão original e completar o quadrado de uma maneira diferente.

Passo 11

Vamos reescrever o expoente original:
-x^2 - x y + y^22 = -(y - x2)^2 + 3x^242 = -(y - x2)^22 - 3x^28
Então, juntando com a exponencial do denominador:
-(y - x2)^22 - 3x^28 + 3x^28 = -(y - x2)^22
Portanto, o expoente simplifica para:
-(y - x2)^22

Passo 12

Agora, colocamos tudo de volta na expressão da densidade condicional:
fY|X(y|x) = 1raiz2 pi exp(-(y - x2)^22)

Resposta

A densidade condicional de $ Y $ dado $ X = x $ é:
Y

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