(b) Encontre as funções de distribuições marginais das variáveis aleatórias
e
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $, dada por:
O que precisamos fazer aqui é encontrar as funções de distribuição marginal para $ X $ e para $ Y $. Basicamente, as distribuições marginais mostram como cada variável se comporta individualmente, sem considerar a outra. Para isso, vamos usar o conceito de integração marginal, que basicamente envolve integrar a função conjunta em relação à outra variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que vamos chamar de $ f_X(x) $. Para isso, precisamos integrar a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $ sobre todo o intervalo possível de $ y $. Ou seja:
Isso significa que estamos “esmagando” a função conjunta ao longo de $ y $, ficando só com a dependência em $ x $.
Passo 3
Vamos substituir a função conjunta na integral:
Observe que $ \frac{1}{2} e^{-x + 2} $ é constante em relação a $ y $, então podemos tirar isso da integral:
Passo 4
Agora, calculamos a integral de $ dy $ de 1 a 3:
Então, substituindo de volta:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de $ Y $, que vamos chamar de $ f_Y(y) $. Para isso, integramos a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $ sobre todo o intervalo possível de $ x $. Ou seja:
Aqui, estamos “esmagando” a função conjunta ao longo de $ x $, deixando só a dependência em $ y $.
Passo 6
Substituindo a função conjunta na integral:
Podemos simplificar a constante:
Passo 7
Calculamos a integral de $ e^{-x} $ de 2 até infinito:
Substituindo de volta:
Então, a distribuição marginal de $ Y $ é:
Resposta
As funções de distribuição marginais são:
e