f(x, y)=12 e^-x+2, x>2, 1 <= y <= 3
(b) Encontre as funções de distribuições marginais das variáveis aleatórias X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $, dada por:
X
O que precisamos fazer aqui é encontrar as funções de distribuição marginal para $ X $ e para $ Y $. Basicamente, as distribuições marginais mostram como cada variável se comporta individualmente, sem considerar a outra. Para isso, vamos usar o conceito de integração marginal, que basicamente envolve integrar a função conjunta em relação à outra variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que vamos chamar de $ f_X(x) $. Para isso, precisamos integrar a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $ sobre todo o intervalo possível de $ y $. Ou seja:
X
Isso significa que estamos “esmagando” a função conjunta ao longo de $ y $, ficando só com a dependência em $ x $.

Passo 3

Vamos substituir a função conjunta na integral:
fX(x) = integral1^3 12 e^-x + 2 , dy
Observe que $ \frac{1}{2} e^{-x + 2} $ é constante em relação a $ y $, então podemos tirar isso da integral:
12 e^-x + 2

Passo 4

Agora, calculamos a integral de $ dy $ de 1 a 3:
dy
Então, substituindo de volta:
integral1^3 , dy = y |1^3 = 3 - 1 = 2
Simplificando, temos:
fX(x) = 12 e^-x + 2 times 2 = e^-x + 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de $ Y $, que vamos chamar de $ f_Y(y) $. Para isso, integramos a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $ sobre todo o intervalo possível de $ x $. Ou seja:
Y
Aqui, estamos “esmagando” a função conjunta ao longo de $ x $, deixando só a dependência em $ y $.

Passo 6

Substituindo a função conjunta na integral:
fY(y) = integral2^infty 12 e^-x + 2 , dx
Podemos simplificar a constante:
fY(y) = 12 e^2 integral2^infty e^-x , dx

Passo 7

Calculamos a integral de $ e^{-x} $ de 2 até infinito:
e^-x
Substituindo de volta:
integral2^infty e^-x , dx = [ -e^-x ]2^infty = 0 - (-e^-2) = e^-2
Então, a distribuição marginal de $ Y $ é:
fY(y) = 12 e^2 times e^-2 = 12

Resposta

As funções de distribuição marginais são:
fX(x) = e^-x + 2, x > 2
e
fY(y) = 12, 1 <= y <= 3

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