Determine o intervalo de 95 % de confiança para a variância de uma população normal cuja amostra colhida foi. x 1=110, x 2=105, x 3=114, x 4=118, x 5=102, x 6=103

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é determinar o intervalo de confiança de 95% para a variância de uma população que segue uma distribuição normal. Para isso, a gente vai usar os dados da amostra que foram coletados: 110, 105, 114, 118, 102 e 103.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os valores:
Média = 110 + 105 + 114 + 118 + 102 + 1036 = 6526 approx 108,67 é

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da amostra. A variância mede o quanto os valores se espalham em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum(xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ x_i $ são os valores da amostra
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra
  • $ n $ é o número de observações
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \bar{x})^2 $:
xi
barx
n
(xi - barx)^2
(110 - 108,67)^2 approx 1,76
(105 - 108,67)^2 approx 13,47
Somando esses valores:
(114 - 108,67)^2 approx 28,37
Agora, dividimos pela quantidade de graus de liberdade ($ n - 1 = 5 $):
(118 - 108,67)^2 approx 86,73

Passo 4

Para encontrar o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula do intervalo de confiança para a variância $ \sigma^2 $ é:
chi^2
Onde:
  • $ n - 1 $ são os graus de liberdade
  • $ s^2 $ é a variância amostral
  • $ \chi^2_{\alpha/2} $ e $ \chi^2_{1 - \alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado
Como queremos um intervalo de 95% de confiança, $ \alpha = 0,05 $. Então, $ \alpha/2 = 0,025 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,975 $.

Passo 5

Vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 5 graus de liberdade:
  • $ \chi^2_{0,025} \approx 1,145 $
  • $ \chi^2_{0,975} \approx 12,833 $
Esses valores podem ser encontrados em tabelas de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística.

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
( 5 times 41,2212,833, 5 times 41,221,145 ) approx ( 206,112,833, 206,11,145 ) approx ( 16,05, 179,78 )

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância da população é aproximadamente entre 16,05 e 179,78.

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