Determine o intervalo de
de confiança para a variância de uma população normal cuja amostra colhida foi.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é determinar o intervalo de confiança de 95% para a variância de uma população que segue uma distribuição normal. Para isso, a gente vai usar os dados da amostra que foram coletados: 110, 105, 114, 118, 102 e 103.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da amostra. A variância mede o quanto os valores se espalham em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
Onde:
- $ x_i $ são os valores da amostra
- $ \bar{x} $ é a média da amostra
- $ n $ é o número de observações
Vamos calcular cada termo $ (x_i - \bar{x})^2 $:
Somando esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de graus de liberdade ($ n - 1 = 5 $):
Passo 4
Para encontrar o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula do intervalo de confiança para a variância $ \sigma^2 $ é:
Onde:
- $ n - 1 $ são os graus de liberdade
- $ s^2 $ é a variância amostral
- $ \chi^2_{\alpha/2} $ e $ \chi^2_{1 - \alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado
Como queremos um intervalo de 95% de confiança, $ \alpha = 0,05 $. Então, $ \alpha/2 = 0,025 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,975 $.
Passo 5
Vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 5 graus de liberdade:
- $ \chi^2_{0,025} \approx 1,145 $
- $ \chi^2_{0,975} \approx 12,833 $
Esses valores podem ser encontrados em tabelas de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística.
Passo 6
Agora, aplicamos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a variância da população é aproximadamente entre 16,05 e 179,78.