Um centro de pesquisas declara que menos de 20 % dos usuários nos USA tem rede sem fio em suas casas. Em uma amostra aleatória de 100 adultos, 15 deles dizem que tem rede sem fio em casa. Com um nível de 1 %, ha evidências suficientes para apoiar a declaração do pesquisador?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está falando. Um centro de pesquisas afirma que menos de 20% das pessoas nos EUA têm rede sem fio em casa. Nós pegamos uma amostra aleatória de 100 adultos e descobrimos que 15 deles têm rede sem fio. A pergunta é: com um nível de confiança de 1%, a gente tem evidências suficientes para apoiar a afirmação do pesquisador?
Vamos precisar usar o conceito de teste de hipótese para proporções. Isso vai nos ajudar a verificar se a proporção observada na amostra (15%) é significativamente menor que 20%, como o pesquisador afirma.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. A hipótese nula ( H0) é o que a gente assume que é verdadeiro até provar o contrário. A hipótese alternativa ( Ha) é o que queremos testar.
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção de pessoas com rede sem fio é maior ou igual a 20% ( p >= 0,20).
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A proporção de pessoas com rede sem fio é menor que 20% ( p < 0,20).
Aqui, estamos fazendo um teste unilateral à esquerda, porque queremos saber se a proporção é menor que 20%.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Temos 15 pessoas com rede sem fio em uma amostra de 100.
p = 15100 = 0,15
Então, nossa proporção observada é 15%.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o valor do teste estatístico. Para isso, usamos a fórmula do escore z para proporções:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada (0,15).
  • p0 é a proporção da hipótese nula (0,20).
  • n é o tamanho da amostra (100).
Vamos calcular:
z = 0,15 - 0,20raiz0,20 times 0,80100 = -0,05raiz0,16100 = -0,050,04 = -1,25

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico correspondente ao nível de significância de 1%. Como estamos fazendo um teste unilateral à esquerda, procuramos o valor z que deixa 1% na cauda esquerda da distribuição normal.
Consultando a tabela z, o valor crítico para 1% é aproximadamente -2,33.

Passo 6

Comparamos o valor do teste estatístico ( z = -1,25) com o valor crítico ( zcrítico = -2,33í):
  • Se z < zcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se z >= zcríticoí, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
-1,25 > -2,33

Passo 7

Como -1,25 é maior que -2,33, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, com um nível de confiança de 1%, não temos evidências suficientes para apoiar a afirmação de que menos de 20% das pessoas nos EUA têm rede sem fio em casa.

Resposta

Com um nível de 1%, não há evidências suficientes para apoiar a afirmação do pesquisador de que menos de 20% dos usuários nos EUA têm rede sem fio em casa.

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