Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de quarta ordem:
Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos dessa equação podemos ter soluções garantidas. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente verificando onde os coeficientes da equação são contínuos e bem definidos. Vamos precisar entender sobre continuidade e pontos onde a equação pode não estar bem comportada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma geral:
Onde:
Para que a equação diferencial tenha soluções garantidas, precisamos que os coeficientes
,
e
sejam contínuos nos intervalos que estamos considerando.
Passo 3
Vamos analisar cada coeficiente separadamente:
-
: - É um polinômio, que é contínuo em todo o domínio dos números reais, exceto onde
. -
quando ou .
- É um polinômio, que é contínuo em todo o domínio dos números reais, exceto onde
-
: - A função exponencial é contínua para todos os valores de
reais.
- A função exponencial é contínua para todos os valores de
-
: - O logaritmo natural
está definido e é contínuo para .
- O logaritmo natural
Passo 4
Com base na análise dos coeficientes:
- Pontos problemáticos:
-
e : Onde . -
: Onde não está definido.
-
Portanto, devemos excluir esses valores e considerar os intervalos onde todos os coeficientes são contínuos.
Passo 5
Vamos dividir a linha dos números reais em intervalos baseados nos pontos problemáticos identificados:
-
: não está definido. Excluído. -
: Todos os coeficientes são contínuos. -
: não é zero, e todos os coeficientes são contínuos. -
: Todos os coeficientes são contínuos.
Passo 6
Concluindo, os intervalos onde todos os coeficientes são contínuos e bem definidos são:
Esses são os intervalos nos quais podemos ter, com certeza, soluções para a equação diferencial dada.
Resposta
As soluções para a equação diferencial existem nos intervalos
,
e
.
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Efetue os produtos (simplifique antes, se possível).
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