1,0 Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial
(t-5)(t-3) y^(4) + e^(t) y'' + 4(ln t) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de quarta ordem:
Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos dessa equação podemos ter soluções garantidas. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente verificando onde os coeficientes da equação são contínuos e bem definidos. Vamos precisar entender sobre continuidade e pontos onde a equação pode não estar bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma geral:
Onde:
Para que a equação diferencial tenha soluções garantidas, precisamos que os coeficientes , e sejam contínuos nos intervalos que estamos considerando.

Passo 3

Vamos analisar cada coeficiente separadamente:
  1. :
    • É um polinômio, que é contínuo em todo o domínio dos números reais, exceto onde .
    • quando ou .
  2. :
    • A função exponencial é contínua para todos os valores de reais.
  3. :
    • O logaritmo natural está definido e é contínuo para .

Passo 4

Com base na análise dos coeficientes:
  • Pontos problemáticos:
    • e : Onde .
    • : Onde não está definido.
Portanto, devemos excluir esses valores e considerar os intervalos onde todos os coeficientes são contínuos.

Passo 5

Vamos dividir a linha dos números reais em intervalos baseados nos pontos problemáticos identificados:
  1. : não está definido. Excluído.
  2. : Todos os coeficientes são contínuos.
  3. : não é zero, e todos os coeficientes são contínuos.
  4. : Todos os coeficientes são contínuos.

Passo 6

Concluindo, os intervalos onde todos os coeficientes são contínuos e bem definidos são:
Esses são os intervalos nos quais podemos ter, com certeza, soluções para a equação diferencial dada.

Resposta

As soluções para a equação diferencial existem nos intervalos , e .

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