Obtenha a solução do problema de valor inicial (PVI)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão, encontrar um fator integrante e então integrar para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por
(desde que
):
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Calculando a integral de
:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
A equação fica:
Isso acontece porque a multiplicação pelo fator integrante transforma a equação em uma derivada do produto
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando, fica:
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(a)