(3,0) Obtenha a solução do problema de valor inicial (PVI)
t dy/dt + (-2t + 1) y = e^(2t), y(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão, encontrar um fator integrante e então integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por (desde que ):
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
Calculando a integral de :
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando:
A equação fica:
Isso acontece porque a multiplicação pelo fator integrante transforma a equação em uma derivada do produto .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Utilizamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo e :
Dividindo ambos os lados por :
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando, fica:

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