Determine a lei que define a função quadrática:
a) cujo gráfico contém os pontos (-1,-4), (1,2) e (2, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a equação de uma função quadrática, ou seja, uma função do tipo $ y = ax^2 + bx + c $. Para isso, vamos usar os pontos que o gráfico dessa função passa: (-1, -4), (1, 2) e (2, -1). Vamos precisar montar um sistema de equações usando essas informações para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto (x, y) que está no gráfico da função, substituindo x e y na equação $ y = ax^2 + bx + c $ ela deve se tornar verdadeira. Vamos fazer isso para cada um dos três pontos.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro ponto (-1, -4). Substituindo na equação:
-4 = a(-1)^2 + b(-1) + c
-4 = a - b + c (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo ponto (1, 2):
2 = a(1)^2 + b(1) + c
2 = a + b + c (Equação 2) çã

Passo 5

Por último, o terceiro ponto (2, -1):
-1 = a(2)^2 + b(2) + c
-1 = 4a + 2b + c (Equação 3) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a - b + c = -4 (Equação 1) a + b + c = 2 (Equação 2) 4a + 2b + c = -1 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 7

Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ c $:
c
(a + b + c) - (a - b + c) = 2 - (-4)
2b = 6

Passo 8

Agora que sabemos que $ b = 3 $, vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar $ a + c $:
b = 3
a + c çã

Passo 9

Em seguida, substituímos $ b = 3 $ na Equação 3:
b = 3
4a + 2(3) + c = -1
4a + 6 + c = -1 çã

Passo 10

Agora temos duas equações com $ a $ e $ c $:
a çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5:
c
a + c = -1 (Equação 4) 4a + c = -7 (Equação 5)
(4a + c) - (a + c) = -7 - (-1)

Passo 11

Agora que temos $ a = -2 $, substituímos esse valor na Equação 4 para encontrar $ c $:
a = -2
c

Passo 12

Então, encontramos os valores:
a = -2, b = 3, c = 1

Resposta

A equação da função quadrática é:
y = -2x^2 + 3x + 1

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