Determine a lei que define a função quadrática:
a) cujo gráfico contém os pontos (-1,-4), (1,2) e (2, -1).
a) cujo gráfico contém os pontos (-1,-4), (1,2) e (2, -1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a equação de uma função quadrática, ou seja, uma função do tipo $ y = ax^2 + bx + c $. Para isso, vamos usar os pontos que o gráfico dessa função passa: (-1, -4), (1, 2) e (2, -1). Vamos precisar montar um sistema de equações usando essas informações para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto
que está no gráfico da função, substituindo
e
na equação $ y = ax^2 + bx + c $ ela deve se tornar verdadeira. Vamos fazer isso para cada um dos três pontos.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro ponto
. Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos usar o segundo ponto
:
Passo 5
Por último, o terceiro ponto
:
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.
Passo 7
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ c $:
Passo 8
Agora que sabemos que $ b = 3 $, vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar $ a + c $:
Passo 9
Em seguida, substituímos $ b = 3 $ na Equação 3:
Passo 10
Agora temos duas equações com $ a $ e $ c $:
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5:
Passo 11
Agora que temos $ a = -2 $, substituímos esse valor na Equação 4 para encontrar $ c $:
Passo 12
Então, encontramos os valores:
Resposta
A equação da função quadrática é: